５次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，

　　τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ4＝２４，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０

の６つだけなのです．

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【１】Ｅ8格子

　コクセターは，８次元空間において２個の正軸体と１個の正単体を組み合わせると空間充填形ができ，ケイリー整数の作る格子がその具体形であることを証明した．

　原点と単位点，実数成分が１／２で他の３個がすべて＋１／２である原点の隣点７点，

（０，０，０，０，０，０，０，０）

（１，０，０，０，０，０，０，０）

（１／２，１／２，１／２，１／２，０，０，０，０）

（１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０，０）

（１／２，１／２，０，０，０，０，１／２，１／２）

（１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２，０）

（１／２，０，１／２，０，０，１／２，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，１／２，０，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，０，１／２，１／２，０）

合計９点は辺長が１の正単体をなす．

　他方，原点と全成分が１／２の点

（０，０，０，０，０，０，０，０）

（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）

を軸として，両者から等距離にある４成分が１／２，他の成分が０である１４点，

（１／２，１／２，１／２，１／２，０，０，０，０）

（１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０，０）

（１／２，１／２，０，０，０，０，１／２，１／２）

（１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２，０）

（１／２，０，１／２，０，０，１／２，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，１／２，０，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，０，１／２，１／２，０）

とその反転

（０，０，０，０，１／２，１／２，１／２，１／２）

（０，０，１／２，１／２，０，０，１／２，１／２）

（０，０，１／２，１／２，１／２，１／２，０，０）

（０，１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２）

（０，１／２，０，１／２，１／２，０，１／２，０）

（０，１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０）

（０，１／２，１／２，０，１／２，０，０，１／２）

合計１６点が辺長１の正軸体を作り，隙間なく全空間を覆うのである．

　正軸体，正単体のうち，頂点から最も遠い点はその中心

（１／４，１／４，１／４，１／４，１／４，１／４，１／４，１／４）

（１／２，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６）　

であり，その距離はそれぞれ１／√２，２／３である．

　Ｅ8格子の構成法は他にもあり，たとえば，面心立方格子状に単位球を置いた場合の１１２個の接触点

1/√2（０，・・・，±１，０，・・・，±１，０・・・）　　　（±１の個数は２つ）と１２８個の隙間の点

1/√8（±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１）　　　（＋の個数は偶数）

とは直交変換で互いに移りあう．そして，原点においた半径１／２の球に，同じ半径の球を原点の隣点におけば２４０個の球が接するようにできる．８次元空間における球の接触数は２４０であり，その配列は本質的にこの形しかないのである．

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　この充填形で，正軸体の１つおきの胞に正単体が続き，他の半分の胞は正軸体同士が接する．格子点として１つの格子点を中心にその隣（距離１）の２４０個の頂点を結んでできる８次元の「亜正多面体」は次のような構造をしている．

　　頂点２４０個，辺６７２０（２４０×２８）本

　　面（正三角形）６０４８０（６７２０×９）枚

　　３次元胞（正四面体）２４１９２０（６０４８０×４）個

　　４次元胞（正五胞体）２４１９２０（６０４８０×４）個

　　５次元胞（正単体）４８３８４０個

　　６次元胞（正単体）２０７３６０個

　　　　　＝４８３８４０×３／７＝２４０×８６４

　　　　　＝（１７２８０×８＋２１６０×２^7）／２

　　７次元胞：各６次元胞に正軸体２個と正単体１個が合わさり

　　　　　　　正単体が１７２８０個，正軸体が２１６０個

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