８次元空間の格子状詰め込みにおいては，なんと１つの超球に２４０個もの超球が接触しています．この配置から長さ８のハミング・コードが得られます（長さ７のゴレイ・コードにあとひとつつけ加えることによって長さ８のコードが得られる）．このコードは１箇所の誤りが訂正できます（２箇所の誤りは検出できるが訂正できない）．

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【１】ケイリー整数とＥ8格子

　八元数Σａjｅjにおいて，係数ａj(j=0~7)が

　　1)整数値をとるもの

　　2)半整数値の奇数倍をとるもの

　　3)４個が整数値，４個が半整数値の奇数倍をとるもの

を加えて，「ケイリーの整数」と呼びます．

　ただし，3)において整数である番号は（ｉ，ｊ，ｋ）７組に０（実数）を加えた集合および（０〜７）に対するその補集合の１４組に限ります．

　このような点をすべてとると，８次元空間内で隣り合う２点間の距離がすべて１の格子ができあがります．原点に隣接する点は２４０個あり，それらと原点を結ぶベクトルが例外型リー環のＥ8ルート系を表すので，この格子をＥ8格子といいます．

　Ｅ8格子にはほかにもいくつかの構成法があり，ここではケイリー整数との関連で説明しましたが，その配列は本質的にはこの形しかありません．Ｓ^7の上の２４０個の点は直交変換で互いに移りうる点の組を同じものとみなすと一意なのです．

　そして，８次元空間において，２個の正軸体（正８面体の拡張）と１個の正単体（正４面体の拡張）を組み合わせると空間充填形ができるのですが，ケイリー整数の作る格子がその具体形になっています．

　なお，Ｅ8格子において，原点からの距離が√ｎである格子点の個数は

　　２４０σ3（ｎ）

（ここで，σ3（ｎ）はｎの約数の３乗の和）と表せることが知られています．すなわち，

　　ｎ＝１　→　２４０・１^3＝２４０個

　　ｎ＝２　→　２４０・（１^3＋２^3）＝２１６０個

　　ｎ＝３　→　２４０・（１^3＋３^3）＝６７２０個

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【２】ハミング符号系

　Ｅ8格子の構成法は他にもありますが，ここでは２４次元リーチ格子への準備として，Ｅ8格子の構成法に「符号理論」としての解釈を与えます．符号理論の基礎はまさしく現代数学であり，いまでは歩きながら携帯電話するにしても，現代数学の恩恵を受けているのです．

　Ｅ8格子の格子点のうち，半整数の奇数倍を１，偶数倍を０で表すと，

　　　b1b2b3b4b5b6b7b8 b1b2b3b4b5b6b7b8

　　　００００００００（０）　　　　　１１１１１１１１（Ｆ）

　　　００００１１１１（１）　　　　　１１１１００００（Ｅ）

　　　００１１００１１（２）　　　　　１１００１１００（Ｄ）

　　　００１１１１００（３）　　　　　１１００００１１（Ｃ）

　　　０１０１０１０１（４）　　　　　１０１０１０１０（Ｂ）

　　　０１０１１０１０（５）　　　　　１０１００１０１（Ａ）

　　　０１１００１１０（６）　　　　　１００１１００１（９）

　　　０１１０１００１（７）　　　　　１００１０１１０（８）

の１６パターンになります．右列は左列のビットを反転させたものです．

　左からｂ1，ｂ2，・・・とすると，ｂ1ｂ2ｂ3ｂ5の４ビットを２進数として読むと１６進数（０〜Ｆ）を表すことができます．そして，互いに少なくとも４ビット異なりますから，４ビットの符号に４ビットの検査ビットをつけた８ビット符号系と解釈することができます．

　このうちｂ4をパリティビット（１が偶数個になるように付加したビット）とみなすことができるのですが，これがハミング符号系の特別な場合で，一般に１ビットの誤りが完全に訂正できる符号系はｍ個の情報ビットと２^m−ｍ−１個の検査ビットをもつ符号系です．

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