シェルピンスキーの三角形のフラクタル次元は

　　ｌｏｇ２／ｌｏｇ３＝０．６３０９・・・

であった．

　［０，１］を３等分して中央の区間を取り除くという操作を繰り返す．方眼紙を１枚もってきてこの図形にかぶせ，この図形を覆っているマス目の個数を数える．つぎにマス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返す．もとの図形が線であればマス目の数は２＝２^1倍に，面であればマス目の数は４＝２^2倍に増える．

　マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は２倍になるから，

　　３^d＝２→ｄ＝ｌｏｇ２／ｌｏｇ３＝０．６３０９・・・

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【１】実数のｍ進展開の分布とハウスドルフ次元

　実数のｍ進展開は０〜ｍ−１の数字で表されますが，各数字（０〜ｍ−１）の出現確率をｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1

　　Σｐk＝１，すなわち，ｐ0＋ｐ1＋・・・＋ｐm-1＝１

とします．

　０と１の間の数のうち，ほとんどの実数はｍ進展開したとき，各桁に現れる数字の出現確率が均等であることが知られています（正規数）．

　また，Ｆ（ｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1）を［０，１）上の実数で，各桁に現れる数字（０〜ｍ−１）の出現確率がｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1であるような実数の集合とすると，Ｆのハウスドルフ次元ｄｉｍＦは

　　ｄｉｍＦ＝−Σｐkｌｏｇｐk／ｌｏｇｍ

で定義されます．正規数の集合Ｆ（１／ｍ，・・・，１／ｍ）のルベーグ測度１であり，したがって，その次元も１となります．

　また，０・ｌｏｇ０＝０と約束しておくことにして，［０，１］を３等分して中央の区間を取り除くという操作を繰り返します．このようにして得られる３分割カントル集合は最も有名なフラクタル集合の１例です．３分割カントル集合は３進展開の各桁に１の現れない数の集合Ｆ（１／２，０，１／２）ですが，そのハウスドルフ次元は

　　ｌｏｇ２／ｌｏｇ３＝０．６３０９・・・

となります．

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