［１］４９４３＋６００６０・ｋは０≦ｌ≦１２に対して素数となる．

［２］２３１４３＋３００３０・ｋは０≦ｌ≦１１に対して素数となる．

［３］１２１１７４８１１＋３０・ｋは０≦ｌ≦５に対して素数となる．

［４］８２９７６４４３８７＋４１８０５６６３９０・ｋは０≦ｌ≦１８に対して素数となる．

［５］４０７５３１３８０２５３＋６０５６４８６４３６０・ｋは０≦ｌ≦１８に対して素数となる．

　連続した素数で等差数列をなすものが，どんな長さに対しても存在するという定理がある．

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【１】グリーン・タオの定理

　有名な素数定理（ＰＴ）は，漸近分布の形で

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

と表すことができます．素数は無限個存在し，そして等差数列｛ａ＋ｋｎ｝にも素数は無限に含まれるのですが，素数ｐでａ＋ｋｎの形のものの分布問題がディリクレの算術級数定理です．

　　π（ｘ；ａ，ｎ）〜Ｃ・ｘ／ｌｏｇｘ　　　Ｃ＝１／φ（ｎ）

　算術級数定理は素数定理を精密化したもので，初項ａの取り方にはよらないのですが，ここで，オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数

　　φ（ｎ）＝＃（Ｚ／ｎＺ）

として定義されます．たとえば，ｎ＝７の場合，１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｎ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．

　ここで，素数のみからなる等差数列，

　　ａ，ａ＋ｄ，・・・，ａ＋（ｎ−１）ｄ

において，「任意に長いｎ個の素数の等差数列が存在する．」（グリーン・タオの定理：２００４年）

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【２】シンツェル仮説

　シンツェル仮説によれば，公差が３００３０で長さが１３の素数等差数列が無限に存在する．いまのところ，公差が６００６０で長さが１３の素数等差数列

［１］４９４３＋６００６０・ｋは０≦ｌ≦１２に対して素数となる．

はわかっているが，公差が３００３０の

［２］２３１４３＋３００３０・ｋは０≦ｌ≦１１に対して素数となる．

の長さは１２である．

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【３】シンツェル仮説（その２）

　シンツェル仮説によれば，連続した１００個の整数で，その中に素数が２３個含まれるようなものが無限にある．

　２≦ｐ≦１０１には２６個含まれている．２５個，２４個の素数を含む連続した１００個の数は有限個しかない．

　しかし，シンツェル仮説によれば，２３個の場合は無限にある．・・・はじめの１００個の整数ではそうなっているが，それ以外では知られていない．

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