（その１０）では，「どんな正定値２次形式に対しても，

　　０≦（ａｘ^2＋２ｂｃｙ＋ｃｙ^2）^2≦｜ａｃ−ｂ^2｜・４／３

をみたすｘ，ｙが存在する」を扱った．

　（４／３）^1/2は２次のエルミート定数と呼ばれる．

　　γ2＝（４／３）^1/2

　この４／３は３次元球の体積

　　４／３・πｒ^3

で与えられることと同値である．

　ｎ次元単位球の体積は，ｎの増大につれて増大し続けはしない．驚くべきことにその体積はｎ＝５のとき最大値に到達し，その後は減少し続けることである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｎ次元ガウス積分を別の方法，直交座標でなく，極座標で求めてみましょう．球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．また，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はｖnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^n-1となります．

　ガウス積分の被積分関数を原点を中心とする半径ｒの球面上で積分し，次にｒ＝０からｒ＝∞まで積分すると，半径ｒの球面上で被積分関数は一定値exp(-r^2)をとり，表面積はｎＶnｒ^n-1ですから，

I=∫(0,∞)exp(-r^2)ｎＶnｒ^n-1dr

=ｎＶn∫(0,∞)r^(n-1)exp(-r^2)dr

z=r^2と変数変換するとdz=2rdrより

I=ｎＶn/2∫(0,∞)z^(n/2-1)exp(-z)dz

=Ｖnn/2Γ(n/2) n/2Γ(n/2)=Γ(n/2+1)

=ＶnΓ(n/2+1)

したがって，Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)　　　ｒn=

を得ることができます．この結果は，形式的にＶn=π^(n/2)/(n/2)！と書くことができます． Γ(m+1)=m!

　これより，半径ｒのｎ次元超球の超体積はＶnｒn=(πr^2)^(n/2)/Γ(n/2+1)となります．ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π^2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．

ｎ　　Ｖn

１　　２

２　　３．１４

３　　４．１９

４　　４．９３

５　　５．２６３

６　　５．１６７

７　　４．７２

８　　４．０６

９　　３．３０

１０　２．５５

（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）

Ｖn-1がわかればＶnは漸化式：

Ｖn/Ｖn-1=Γ（1／２）Γ｛（ｎ+１）／２｝／Γ（ｎ／２+1）

=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式

Ｖn/Ｖn-2=2π/n

を用いると任意のｎに対して

ｎが奇数であればＶn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

ｎが偶数であればＶn=(2π)^(n/2)/n!!

とも書けることも理解されます．

ｎ→∞のとき

Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０

Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０

ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．表面積はｎ＝７のとき最大１６π^3／１５となる．

　また，このことから，ｎ次元単位超立方体[-1,1]^nにおいて，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．高次元において，超立方体内に一様分布する標本を考えるとき，低次元の場合とは対照的に，大部分のデータは超球外に位置することになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝