（その１０）の続きである．

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【１】エルミートの不等式（正定値ｎ元２次形式の最小値の上界）

　ガウスは正定値２元２次形式

　　Ｐ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2　　　（ｘ，ｙは整数）

に座標軸のなす角の余弦がｂ／√ａｃのとき，ある点Ｐと原点との距離の２乗であるという幾何学的解釈を与えている．これにより全平面は平行四辺形の格子に分割され，Ｄ＝｜ｂ^2−ａｃ｜は基本平行四辺形の面積の２乗に等しくなる．３元２次形式の場合は，平行四辺形は平行六面体に置き換えられる．

　　Ｐ＝Σａijｘiｘj　　　（ａji＝ａij）

で与えられた判別式Ｄをもつ正定値ｎ元２次形式Ｐにおいて，係数を連続的に変化させると最小値もまた連続的に変化する．エルミートは正定値ｎ元２次形式の最小値の上界が

　　（４／３）^(n-1)/2｜Ａ｜^1/n　　　（エルミートの不等式）

であることを示した．

　エルミートはさらに２（｜Ａ｜／（ｎ＋１））^1/nで置き換えられるであろうと予想したが，コルキンとゾロタレフはこれよりも最小上界に近い他の上界を得ている．

　　ｎ＝２　→　（４｜Ａ｜／３）^1/2

　　ｎ＝３　→　（２｜Ａ｜）^1/3

　　ｎ＝４　→　（４｜Ａ｜）^1/4

　　ｎ＝５　→　（８｜Ａ｜）^1/5

その後，ブリヒフェルトが

　　ｎ＝６　→　（３｜Ａ｜／６４）^1/6

　　ｎ＝７　→　（６４｜Ａ｜）^1/7

　　ｎ＝８　→　（２｜Ａ｜）^1/8

を証明した．

［補］極大格子

ｎ　　　ルート　　　最小距離　　　　　　　　　　　　　球充填密度

１　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　　　　　１

２　　　Ａ2　　　　4√（４／３） 　＝１．０７５　　　　０．９０６

３　　　Ａ3　　　　6√２　　　　 　＝１．１２２　　　　０．７４０

４　　　Ｄ4　　　　8√４　　　　 　＝１．１８９　　　　０．６１９

５　　　Ｄ5　　　　10√８　　　　　＝１．２３１　　　　０．４６５

６　　　Ｅ6　　　　12√（６４／３）＝１．２９０　　　　０．３７３

７　　　Ｅ7　　　　14√６４　　　　＝１．３４６　　　　０．２９５

８　　　Ｅ8　　　　√２　　　　　　＝１．４１４　　　　０．２５４

［補］最密球充填

ｎ　　　ルート　　球充填密度

２　　　Ａ2　　　π／２√３＝０．９０６（ラグランジュ1773，ガウス1831）

３　　　Ａ3　　　π／３√２＝０．７４０（ガウス1831）

４　　　Ｄ4　　　π^2／１６＝０．６１７（Korkine,Zolotareff,1872）

５　　　Ｄ5　　　π^2／１５√２＝０．４６５（Korkine,Zolotareff,1877）

６　　　Ｅ6　　　π^3／４８√３＝０．３７３（Blichfeldt,1925）

７　　　Ｅ7　　　π^3／１０５＝０．２９５（Blichfeldt,1926）

８　　　Ｅ8　　　π^4／３８４＝０．２５４（Blichfeldt,1934）

［補］最疎球被覆

ｎ　　　ルート　　球被覆密度

２　　　Ａ2~　　　２π／√２７＝１．２０９（Kershner,1939）

３　　　Ａ3~　　　５√５π／２４＝１．４６４（Bambah,1954）

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