【１】オイラーの幸運数

　ｘ^2＋ｘ＋４１のｘに０，１，２，・・・，３９を入れてできる数はすべて素数である（オイラー，１７７２年）．

　同様に，ｘ^2＋ｘ＋１７のｘに０，１，２，・・・，１５を入れてできる数はすべて素数である．

　たとえば，１５＝３・５（合成数）に対して，ｘ^2＋ｘ＋１５はｘ＝３，ｘ＝５のとき，合成数となるので，以下，ｐを素数として，

　　ｘ^2＋ｘ＋ｐ

を考える．

　実は，ｘ^2＋ｘ＋ｐのｘに０，１，２，・・・，ｐ−２を入れてできる数がすべて素数であるのは，ｐ＝２，３，５，１１，１７，４１の６つ以外にない（１９６７年）．この６つをオイラーの幸運数という．

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【２】ベイカー・スタークの定理

　オイラーの２次多項式において，最初のｑ−１個がすべて素数となるような素数ｑ（＞４１）は存在するのでしょうか．もし存在するならば，そのようなｑは無限にあるのでしょうか．あるいは，有限個ならば最大のｑはいくつになるのでしょうか．

　１９６６年，ベイカーとスタークは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したのですが，それによると，

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

　したがって，虚２次体Ｑ（√１−４ｑ）が類数１をもつのは，

　　４ｑ−１＝７，１１，１９，４３，６７，１６３

すなわち，

　　「ｑが素数で，２，３，５，１１，１７，４１に限る．」

というものです．

　もし，そのような素数が無限に多く存在すれば，任意の長さの素数列を生成することができるのですが，ベイカー・スタークの定理はこれが成立しないことを示していて，

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１

が最も長く連続した整数点において素数値をとる多項式であるというわけです．

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　２次方程式

　　ｘ^2＋ｘ＋４１＝０

の解は

　　ｘ＝１／２（−１±√−１６３）

であり，虚２次体Ｑ（√−１６３）の理論と深く関係しているのですが，この不思議な性質も類数１に関するラビノヴィッチの定理から説明されます．

　もうひとつの注目すべき事実は

　　ｘ＝ｅｘｐ（π√ｄ）

が数値的にとても整数に近くなりうるというものです．

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

　　ε＝７．５×１０^-13

　この整数はモジュラ関数

　　ｊ（ｚ）＝ｅｘｐ（−２ｉπｚ）＋７４４＋１９６８８４ｅｘｐ（２ｉπｚ）＋・・・

を用いて，

　　７４４−ｊ（（１＋ｉ√１６３）／２）

で与えられる．

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