１^2 ＋２^2 ＋３^2 ＋・・・＋２４^2 ＝２４（２４＋１）（２・２４＋１）／６ ＝７０^2

　級数の公式：Σｋ^2 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６をご存じの方も多いでしょうが，１からｎまでの平方の和が平方数となるのはｎが１か２４の場合しかありません．２５平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題（１８７３年）として知られています．

　　ｙ^2 ＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）／６

の唯一自明でない整数解は（２４，７０）で，それ以外の自明な解がないことは楕円関数やペル方程式を使って証明されています．

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　また，最初のｎ個の立方数の和は平方数になります．

　　Σｋ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

　フィボナッチはこれを次のように証明しました．

１^3 ＝１，２^3 ＝３＋５，３^3 ＝７＋９＋１１，４^3 ＝１３＋１５＋１７＋１９，５^3 ＝２１＋２３＋２５＋２７＋２９，・・・

　また，最初のｎ個の奇数の和は

　　１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ＾2

最初のｎ項までに現れる奇数の全項数は

　　１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

よって，

　　１^3 ＋２^3 ＋３^3 ＋・・・＋ｎ^3 ＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2 ＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2

が示されます．

　三角数とはｍ（ｍ＋１）／２の型の自然数のことと定義すると，任意の立方数は２つの三角数の平方数の差と表されることがわかります．すなわち，

　　ｙ^3 ＝｛ｙ（ｙ＋１）／２｝^2−｛ｙ（ｙ−１）／２｝^2

がこの証明の根拠となっていることが理解されます．

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