【１】ユークリッドの素数構成法（素数の積＋１）

　２・３＋１＝７　　（素数）

　２・３・５＋１＝３１　　（素数）

　２・３・５・７＋１＝２１１　　（素数）

　２・３・５・７・１１＋１＝２３１１　　（素数）

　２・３・５・７・１１・１３＋１＝３００３１＝５０・５０９　　（非素数）

　素数は無限に存在する（ユークリッド）．Πｐ＋１型素数としては，

　　ｐ＝２，３，５，７，１１，３１，３７９，１０１９，１０２１，

　　２６５７，３２２９，４５４７４７８７，１１５４９，１３６４９，

　　・・・

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【２】ブロカールの問題（階乗＋１）

　　１５４！＋１は素数である．

ｎ！＋１型素数は無限にあると予想されている．

　　ｎ＝１，２，３，１１，２７，３７，４１，７３，７７，１１６，１５４，

　　３２０，３４０，３９９，４２７，８７２，１４７７，・・・

　それに対して，

　　４！＋１＝２５＝５^2

　　５！＋１＝１２１＝１１^2

　　７！＋１＝５０４１＝１７^2

　この種の等式はたった３つしか知られていない．他にないことはまだ証明されていない．

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【３】保型数

　　（１０ｋ＋５）^2＝１０（１０ｋ^2＋１０ｋ）＋２５＝１００ｋ（ｋ＋１０

　ｋ＝２のときは

　　ｋ（ｋ＋１）＝６

であるから

　　２５^2＝６２５

　ｋ＝３のときは

　　ｋ（ｋ＋１）＝１２

であるから

　　３５^2＝１２２５

　ｋ＝１００のときは

　　ｋ（ｋ＋１）＝１０１００

であるから

　　１００５^2＝１０１００２５

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【４】連続する数の階乗

　ａ＝ｂ！とすると，

　　ａ！＝（ａ−１）！・ｂ！

では．とはいえ，２つの連続した数の階乗別の数の階乗となるのは

　　１０！＝６！・７！

のほかにはない．

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