正多角形の各辺に接しながら，その中で１回転できる図形が内転形である．円はすべての正多角形に内接しながら回転することができる自明な図形であるから，円以外の図形が問題となる．

　ルーローの三角形は正方形の面積最小の内転形，藤原・掛谷の二角形は正三角形の面積最小の内転形である．また，正三角形の内転形で円弧二角形となる図形にはもうひとつあり，それがルーローの二角形である．

　ルーローの二角形は永らく忘れ去られていた図形なのだが，逆にいえば，工学者であるルーローが藤原・掛谷の二角形を発見できなかったことほうが不思議に思える．今回のコラムではその理由について推理してみることにした．

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【１】１円定理，２円定理，３円定理，４円定理

　円はすべての正多角形の内転形である（１円定理）．次に，同じ大きさの２つの円を互いに他の中心を通るように描くと２円の共通部分ができる．その部分がルーローの二角形であり，正三角形の内転形となる（２円定理）．

　同様に，同じ大きさの３つの円を互いに他の２円の中心を通るように描くと３円の共通部分ができる．その部分がルーローの三角形であり，正方形の内転形となる（３円定理）．このようにしてルーローはルーローの二角形と三角形を考案したのではないかと推理される．

　同じ大きさの４つの円を互いに他の３円の中心を通るように描くことはできないので，互いに他の２円の中心を通るように描くことにする．その際，４円の中心の配置が正方形の場合は内転形は生まれないが，正三角形を２個つなげた菱形にすると，４円の共通部分に藤原・掛谷の二角形ができる．

　すなわち，藤原・掛谷の二角形を生み出すには第４の円が必要となるのであるが，ルーローの思考は３つの円までで停止したのではなかろうか．勝手な憶測であるが・・・．

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【２】もうひとつの２円定理

　「ある曲線に沿って，滑ることなく転がる半径ｒの円周上の点Ｐの軌跡は，同じ曲線に沿って一緒に半径２ｒの円を転がしたとき，この円に固定された直径が作る直線族の包絡線になる．」

　直線上を転がる円周上の点の軌跡はサイクロイドとして知られています．直線も半径が無限大の円と考えることができますから，このとき転円の直径が作る直線族の包絡線は大きさが半分のサイクロイドになることが２円定理より証明されます．

　同様に，半径ｒの固定円のまわりを転がる半径ｒの円周上の点Ｐの軌跡はカージオイドになりますが，一緒に半径２ｒの円を転がしたとき，この円に固定された直径が作る直線族の包絡線もカージオイドになります．

　さらに，

(1)円周上の光源からからでた光線が反射されてできる直線族の包絡線はカージオイドになる

(2)平行光線が円周で反射されてできる直線族の包絡線はネフロイドになる

ことも証明されます．

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【３】もうひとつの４円定理

　デカルトの４円定理とは，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式

　　（Σ１／ｒi）^2＝２Σ（１／ｒi）^2

です．

　　（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ4）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ4^2）

　デカルトの円定理より，三角形ＡＢＣにおいてＡ，Ｂ，Ｃを中心としてそれぞれ半径

　　ｒ1＝（−ａ＋ｂ＋ｃ）／２，ｒ2＝（ａ−ｂ＋ｃ）／２，ｒ3＝（ａ＋ｂ−ｃ）／２

の円を描くとそれらは互いに外接することがわかります．

（Ｑ）互いに外接する３個の円（半径ｒ1，ｒ2，ｒ3）がある．これらすべてに外接する円の半径ｒを求めよ．

（Ａ）ｒ＝ｒ1ｒ2ｒ3／｛ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1＋２√ｒ1ｒ2ｒ3（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）｝＝１／｛１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋２√（１／ｒ1ｒ2＋１／ｒ2ｒ3＋１／ｒ3ｒ1）｝

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　相異なる２つの球面Ｓ1，Ｓ2の中心をｘ1，ｘ2，半径をｒ1，ｒ2とするとき，Ｓ1，Ｓ2が接するための必要十分条件は

　　｜ｘ1−ｘ2｜＝｜ｒ1±ｒ2｜

となることである．±は外接か内接かに対応している．

　一般にＲ^n内の互いに接するｎ＋２個の球面の系があるとする．このとき，接点がすべて異なるならばこれらｎ＋２個の球面はすべて外接するか，または，ある球面が他のｎ＋１個の球面を含むことになる．このような互いに接するｎ＋２個の球面の系については，球面の半径の逆数に関する単純な等式がある．

　　（Σ１／ｒi）^2＝ｎΣ（１／ｒi）^2

　ただし，Ｓjが他の球面をすべて含むときはｒj＝−（Ｓjの半径）とする．このようにすることで，接する２つの球面間の距離が常に｜ｘi−ｘj｜＝｜ｒi＋ｒj｜で表される．

　ｎ＝２の場合，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式

　　（Σ１／ｒi）^2＝２Σ（１／ｒi）^2

が成立し

（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

１／ｒ^2＋２／ｒ（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）＋（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

１／ｒ^2−２／ｒ（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）−（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）＋２（１／ｒ1ｒ2＋１／ｒ2ｒ3＋１／ｒ3ｒ1）＝０

　この２次方程式を整理すると（Ａ）と同じ式が得られる（デカルトの円定理）．ｎ＝２，３の場合は和算家達によっても得られていた（デカルトの円定理の拡張）．

（Ｑ）与えられた円（半径Ｒ）の内部に互いに外接する３個の等円（半径ｒ）があるとき，ｒを求めよ．

（Ａ）この場合は

（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

において，ｒ1＝ｒ2＝ｒ3＝ｒ，ｒ＝−Ｒとする．　→　ｒ＝（２√３−３）Ｒ

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【４】反転の応用

　接する円の族に関する定理では何百という美しい定理があるが，シュタイナー円鎖について述べておきたい．小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．これがシュタイナー円鎖である．

　最も簡単なものとしては，たとえば，半径が３と１の同心円に対しては６個の単位円よりなるシュタイナー円鎖が存在し，円の中心の軌跡は半径２の円となる（円の最密充填）．シュタイナー円鎖をなす円の中心の軌跡は楕円となる．

　アルキメデスのアルベロス（靴屋のナイフ）円列はシュタイナーの円鎖の特別な場合になっていて，円の中心はすべて基線上に長径をもつ楕円の上にのっている．この円列の円の中心から基線までの距離は半径の２倍，４倍，８倍，・・・となる（パッポス）．

　ソディー（アイソトープの発見でノーベル賞を受賞した英国の化学者）の６球連鎖はシュタイナー円鎖の３次元版であるが，シュタイナー円鎖の場合とは異なって，球連鎖は常に繋がり必ず６個の球からなる．そして６個の球の中心，球同士の接点はすべて同一平面上にあるのである．

　反転によって，接する２円は接する２円か，円とその接線か，平行な２直線のいずれかにに移る．また，平面上の交わらない２つの円を同心円に移す写像が存在する．シュタイナーやソディーの定理はこれらの事実に基づいて証明されるのである．

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【５】ソディーのhexlet（６球連鎖）

　ソディーの定理（１９３６年）とは「半径ａ，ｂ，ｃなる互いに接する３個の球Ｋ1，Ｋ2，Ｋ3のどれにも接する球Ｓiの鎖の数は，常に６個となり，球の半径の逆数をρi (i=1~6)とすると

　　ρ1＋ρ4＝ρ2＋ρ5

が成立する」というものである．

　この定理も１００年以上も前に和算家が得ていたものであるが，これには４個の互いに接する球に関するデカルトの定理

　　（Σ１／ｒi）^2＝３Σ（１／ｒi）^2

が使われている．ソディーは同位元素の研究でノ−ベル化学賞を受賞した化学者であるが，彼もまたデカルトの定理を再発見したのである．

　とくに，球Ｋ1（ｒ）内に互いの外接する２個の等しい球Ｋ2（ｒ／２），Ｋ3（ｒ／２）が内接していて，それらに外接する６個の等しい球Ｓ1-6がループを作っているとき，その半径はｒ／３となる．

　また，半径Ｒの球に正四面体をなすように互いに外接する４個の半径の等しい大球（半径ｒ1）を内接させる．正四面体の各面の中心の隙間に４個の中球（半径ｒ2），その隙間に１２個の小球（半径ｒ3）をおくと，６個の内接球ｒ1ｒ2ｒ3ｒ3ｒ2ｒ1のループができる．このとき

　　ｒ1＝（√６−２）Ｒ，

　　ｒ2＝（√６−２）Ｒ／５，

　　ｒ3＝（３√６−２）Ｒ／２５

を得るが，これは１０才の少年により提出された和算の問題だそうである．有名なソディーと無名の１０才の少年・・・．

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【６】２つの定理

［１］シュタイナーの定理

　小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．このとき，最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす．

［２］ポンスレーの定理

　小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．

　２つの定理に共通する特徴は２つの円が同心円ならば自明であるということである．シュタイナーの定理はメビウス変換により同心円の場合に帰着させて証明できるが，ポンスレーの定理ではそれができない．

　ポンスレーの定理の場合，直線を直線に移す円板の変換が必要になるが，それは

　　ｘ’＝（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

　　ｙ’＝（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

という形の（実）変換である．また，ポンスレーの定理は２つの円を２つの楕円の置き換えても成立する．

　ポンスレーの定理においてｎ＝３の場合，一方の円（半径Ｒ）に内接し，もう一方の円（半径ｒ）に外接する三角形は無数にある．これが成り立つための条件は２つの円の中心間距離をｄとして，

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

となることである（オイラーの定理）．

　四角形やそれ以上のｎ角形についても同様の定理が成り立ち，ひとつの円に内接し，他の円に外接する四（ｎ）角形は無数にある．オイラーの定理のｎ角形版として，フースの定理が知られている．たとえば，内接円と外接円の両方をもつ四角形（双心四角形）では，

　　２Ｒ^2（ｒ^2＋ｄ^2）＝（ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

が成り立つ．フースは双心五角形，六角形，七角形，八角形に関する同様の公式も見つけている．

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【７】アポロニウスのガスケット

　アルキメデスのアルベロス円列は２つずつ接する３つの円に対し，３つの円に接する円を次々に描き加えていくものである．フォードの円列は最初の３つの円のうち１つが直線（半径∞の円）に変わったものである．

　フォードの円列と直線との接点は常に有理数であり，区間［０，１］のすべての有理数はフォードの円列の接点として得られる．たとえば，ｘ^2＋（ｙ−１／２）^2＝（１／２）^2と（ｘ−１）^2＋（ｙ−１／２）^2＝（１／２）^2によって表されるような２円から始めると，ファレイ数列

［０／１，１／１］

→［０／１，１／２，１／１］（２位のファレイ数列）

→［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］（３位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１］（５位のファレイ数列）

→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，５／８，２／３，５／７，３／４，４／５，１／１］（８位のファレイ数列）

が得られる．（ｎ位のファレイ数列とは分子と分母がｎを超えない既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものである．）

　ファレイ数列では相隣り合う２項［ｍ1／ｎ1，ｍ2／ｎ2］の分母と分子からなる行列式の値ｍ1ｎ2−ｍ2ｎ1は±１である．また，フォードの円列では（ｍ1／ｎ1，１／２ｎ1^2）を中心とする半径１／２ｎ1^2の円と（ｍ2／ｎ2，１／２ｎ2^2）を中心とする半径１／２ｎ2^2の円が接する．

　一般に３つの円に接する４つ目の円を描く問題が「アポロニウスの問題」であり，この操作を無限に繰り返してできる図形をアポロニウスのガスケットという．フォードの円列，アルキメデスのアルベロス円列はアポロニウスのガスケットの特別な場合になっている．

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