ｎ人のクラスで，誕生日が一致する生徒が１組以上いる確率についての有名な問題である．

　もし，ここに２３人の構成員からなる集団があって，この中に誕生日の一致するペアが一組以上いる確率は５０％を越える．つまり，サッカーの試合（選手２２人と主審１人）ならば２人が同じ誕生日となる確率は５０％である．これはコイントスして表が出る確率と同じであり，少なくとも２人同じ誕生日の人がいる確率の大きさ（あるいは構成員数の少なさ）には驚かされる．

　それに対して

［Ｑ］自分の誕生日のパーティーに大勢の人を招待することにする．自分の誕生日がそのうちのひとりと同じのなる確率が５０％を超えるには何人招けばよいか？

という問題の答えは２５３人で，この数は直観的な値３６５／２＝１８０よりかなり大きい．この構成員数の多さには驚かされる．

　今回のコラムでは，少なくとも１組の同じ誕生日の３人がいる確率を考えてみよう．

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　トリオの場合は，正確な確率を求めることは難しいので，近似計算のほうを最初に掲げておく．ペアの場合の議論と同様，

３人の組合せ数（ｎ，３）はｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６，

３人が同じ誕生日であることは確率１／ｄ^2で起きるから，その期待値は

　　ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｄ^2

となる．したがって，平均ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｄ^2のポアソン分布で近似すると，

　　ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｄ^2）

　この近似によれば，同じ誕生日のトリオがいる確率を１／２以上にするためには８４人が必要であるが，正確には最低でも８８人は必要である．以下，正確な値を得る方法を示すが易しくはない．発想の転換が必要とされる．

　ｎ人の中に同じ誕生日のトリオがいない確率ｐnは，同じ誕生日のペアがｋ組（ｋ＝０，・・・，ｎ／２）いるが，トリオがいない確率ｐn,kの和となる．

　　ｐn＝Σｐn,k

　多項分布により，

　　ｐn,k＝Σｎ！／ｉ1！・・・ｉd！（１／ｄ）^n

であるが，分数の分母のｉは２の個数がｋ，１の個数がｎ−２ｋ，残りが０であるから，

　　ｐn,k＝（ｄ，ｋ）（ｄ−ｋ，ｎ−２ｋ）ｎ！／２^k（１／ｄ）^n

　このことから，漸化式

　　ｐn,k＝（ｎ−２ｋ＋２）（ｎ−２ｋ＋１）／２ｋ（ｄ−ｎ＋ｋ）ｐn,k-1

を得ることができる．求める確率ｐは１−ｐnである．

ｎ　　　　６０　　８０　　８８　　１００　１２０

正確な値　0.2072　0.4182　0.5111　0.6459　0.8280

近似値１　0.2265　0.4603　0.5612　0.7029　0.8785

近似値２　0.2043　0.4095　0.4996　0.6305　0.8099

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【まとめ】

　前述の近似値（１）

　　ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｄ^2）

の誤差は小さくなく，精度に問題がある．近似値（２）はポアソン近似の改良版であるが，近似値（１）より真の値に接近していることがわかる．その求め方は説明しなかったが，演習問題として残しておくことにする．

［挑戦問題］もし１８７人の人が同じ部屋の中にいれば，そのなかの４人の誕生日が一致する確率は５０％を超えるのだそうである．（無論，４つ子はいない場合である．）

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