「キャノンボール・パッキングよりも密度の高い３次元パッキングは存在しない」ことが証明されましたが，もうひとつのキャノンボール（砲弾）問題とは，１辺がｎ個からなる正方形を作る．次にその上に１辺がｎ−１個からなる正方形を載せる・・・これを１まで（ピラミッドができるまで）続けている．

　このとき，ピラミッドを作っているキャノンボールの総数が平方数になるｎを求めよという問題だそうである．

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｎ^2＝ｍ^2

　これは可能であるのは（ｎ，ｍ）＝（２４，７０）のときだけであることが知られている．すなわち，

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋２４^2＝４９００＝７０^2

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　相続く整数列１，２，３，４，５，・・・の大きさの異なる正方形による正方形充填問題について考えてみることにします．

　１^2 ＋２^2 ＋３^2 ＋・・・＋２４^2 ＝２４（２４＋１）（２・２４＋１）／６ ＝７０^2

　級数の公式：Σｋ^2 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６をご存じの方も多いでしょうが，１からｎまでの平方の和が平方数となるのはｎが１か２４の場合しかありません．２５平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題（１８７３年）として知られています．ｙ^2 ＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）／６の唯一自明でない整数解は（２４，７０）で，それ以外の自明な解がないことは楕円関数やペル方程式を使って証明されています．

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