【１】オイラーのレンガ

　各辺と空間対角線が自然数になる直方体ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2は恒等式

ａ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2−ｎ^2）／ｎ，ｂ＝２ｋｌ，ｃ＝２ｋｍ，ｄ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2＋ｎ^2）／ｎ

で与えられます．ただし，ｎはｌ^2＋ｍ^2の約数でｎ＜√（ｌ^2＋ｍ^2）でなければなりません．一つの文字だけの恒等式

　　ｎ^2（ｎ＋１）^2＋ｎ^2＋（ｎ＋１）^2＝（ｎ^2＋ｎ＋１）^2

によっても無数に解が求まります．

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　その次に問題になるのは，すべての辺と空間対角線と各面の対角線が自然数で表されるような直方体が存在するかどうかということです．このレンガには７つの未知数があります．

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｄ^2

　　ａ^2＋ｃ^2＝ｅ^2

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｆ^2

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｇ^2

　長さが１１の倍数である辺を少なくともひとつもつことが必要条件です．どの２つの辺の長さも互いに素であるものは存在しないこともわかっています．しかし，このような直方体が存在するかどうかわかっていません．

　空間対角線だけが整数でない最小のレンガはオイラーによって辺が４４，１１７，２４０のものであることが示されています．

　ａ＝２４０，ｂ＝４４，ｃ＝１１７，ｄ＝２４４，ｅ＝２６７，ｆ＝１２５，

　ｇ＝２７０．６０１１８

［注］１７１９年にドイツ人会計士ハルケが見つけたともいわれている．オイラーのレンガは長い歴史にもかかわらず，まだ答えは見つかっていないようです．

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【２】ヘロンの四面体

　各辺の長さが整数，各面の面積，体積がすべて有理数の四面体をヘロンの四面体と呼ぶ．４面の辺の長さは（１１７，８４，５１），（５３，５２，５１），（８４，８０，５２），（８０，５３，１１７）で，最大の長さの辺１１７は最小のヘロンの四面体になっている．

　なお，各面の面積は１１７０，１８００，１８９０，２０１６，体積は１８１４４である．

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【２】ヘロンの三角形

　三辺の長さと面積が整数である三角形をヘロン三角形といいますが，エジプト三角形は既約で，３辺の長さの公差が１の等差数列をなすヘロン三角形です．

　直角三角形でない三角形の中にもヘロン三角形は存在します．ヘロン三角形は２つのピタゴラス三角形を貼り合わせることで簡単に作ることができ，たとえば，直角三角形（５，１２，１３）と直角三角形（９，１２，１５）から三辺の長さが（１３，１４，１５）で面積が８４の鋭角三角形と三辺の長さが（４，１３，１５）で面積が２４の鈍角三角形が得られます．

　一般に，３辺と面積が有理数であるようなすべての三角形は，有理数辺をもつ２つの直角三角形から合成されます．３辺がすべて有理数の直角三角形は適当な整数倍によってピタゴラス三角形になりますから，ヘロン三角形は広義のピラゴラス三角形から合成されるといってもよいでしょう．なお，直角三角形の面積は６の倍数ですが，それが平方数となる（ａ，ｂ，ｃ）は存在しません．

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