ｎ本の円は平面を最多で（ｎ^2−ｎ＋２）の部分に分割する．５つの交わる円によって，平面は２２の領域に分割される．２２番目の領域は５つの円すべての外側であるから，この問題は以下の問題と等価である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（問）球面をｎ個の大円で分割する．その際，どの３個も同一点で交わらないとすると，球の表面はｎ^2−ｎ＋２個の領域に分割される．

（証）２個の大円は２点で交わるから，ｎ個の大円の交点数は

　　２（ｎ，２）＝ｎ^2−ｎ

また，各交点の次数は４であるから，握手定理により，辺数は

　　２（ｎ^2−ｎ）

よって，オイラーの公式から，領域の個数はｎ^2−ｎ＋２となる．

　　Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝８，Ｓ4＝１４（四角形は６個），Ｓ5＝２２（三角形１０個，四角形１０個，五角形２個），・・・

　この答えは

（問）１つの円をｎ本の弦で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｐnはいくつになるか？

（答）Ｐn＝ｎ（ｎ＋１）／２＋１＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

　　　Ｐ0＝１，Ｐ1＝２，Ｐ2＝４，Ｐ3＝７，・・・

とすると

　　Ｓn＝２Ｐn-1

である．漸化式

　　Ｓn＝Ｓn-1＋２（ｎ−１）

が成り立つ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　実はこの問題も

（問）平面をｎ個の円で分割する．その際，どの３個も同一点で交わらないとすると，平面はｎ^2−ｎ＋２個の領域に分割される．

と等価になる．

　交点数がｎ（ｎ−１），交点が頂点で辺の数が２ｎ（ｎ−１）であるから，オイラーの公式により領域の個数は

　　ｆ＝ｅ−ｖ＋２＝ｎ^2−ｎ＋２となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（問）平面をｎ個の楕円で分割する．その際，どの３個も同一点で交わらないとすると，平面は２（ｎ^2−ｎ＋１）個の領域に分割される．

（証）２個の大円は２点で交わるから，ｎ個の大円の交点数は

　　４（ｎ，２）＝２（ｎ^2−ｎ）

また，各交点の次数は４であるから，握手定理により，辺数は

　　４（ｎ^2−ｎ）

よって，

　　ｆ＝ｅ−ｖ＋２＝２（ｎ^2−ｎ＋１）

となる．

　なお，漸化式

　　Ｅn＝Ｅn-1＋４（ｎ−１）

が成り立つ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　それでは

（問）１つの円環体（ドーナツ型）をｎ個の面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数はいくつになるか？

　答えは

　　Ｓn＝（ｎ^3＋３ｎ^2＋８ｎ）／６

　　Ｓ1＝２，Ｓ2＝６，Ｓ3＝１３，Ｓ4＝２４，・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝