ラグランジュの定理：どんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の形に書ける．それでは，どんな自然数でも

　　ｘ^2＋２ｙ^2＋３ｚ^2＋４ｗ^2

で書けるだろうか？

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【１】ｎ元２次形式による整数の表現と２９０の予想

　正定値ｎ元２次形式（変数ｎの数は任意とする）において，

　　１，２，３，５，６，７，１０，１３，１４，１５

　　１７，１９，２１，２２，２３，２６，２９，３０，３１

　　３４，３５，３７，４２，５８，９３，１１０，１４５，２０３，２９０

の数を表現するならば，すべての正の整数を表現するというのが２９０予想である．

　５変数２次形式，たとえば，

　　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2

はどの整数も表すことができるが，

　　２ａ^2＋ａｂ＋４ｂ^2＋ｂｃ＋ｃ^2＋２９ｄ^2＋２９ｄｅ＋２９ｅ^2

は２９０だけを表すことができない．

　４変数２次形式では，たとえば，

　　２ｗ^2＋３ｘ^2＋４ｙ^2＋５ｚ^2

は１だけを表すことができない．

　　ｗ^2＋２ｘ^2＋５ｙ^2＋５ｚ^2

は１５だけを表すことができない．

　普遍的な３変数２次形式は存在しない．たとえば，

　　ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ^2＋２ｙ^2＋ｙｚ＋４ｚ^2

は１から３０までの整数をすべて表すが，３１を表すことはできない．他の３元２次形式はこんなにうまい具合にはなっておらず，３１以下の整数の中のどれかを表すことができないのである．

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【２】１５の定理と整数の表現（驚くべき定理）

　驚くべきことに，１９９６年，コンウェイとシュニーバーガーは正定値ｎ元２次形式（変数ｎの数は任意とする）が１から１５までのすべての整数を表せば，それがすべての正の整数を表すことを示した（１５の定理）．

　もっと限定していえば

　　１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５

の９つの数を表現するならば，すべての正の整数を表現するという定理である．

　１５の定理は２９０予想のbest-possibleな解決であったが，この定理はルジャンドルの４平方和定理「何種類かの４変数２次形式，たとえば，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができる」も内包していて，

　　１＝１^2，２＝１^2＋１^2，３＝１^2＋１^2＋１^2，５＝２^2＋１^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2，７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2，１０＝３^2＋１^2

　　１４＝３^2＋２^2＋１^2，１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

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【３】まとめ

　それらは

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2からｘ^2＋２ｙ^2＋５ｚ^2＋１０ｗ^2まで

すべてＡｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2の形をしていて，５４通りあることが知られている．

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