正多面体の点心図，辺心図，面心図をみると，その中に正射影として輪郭が正多角形に見える方向があります．たとえば，正四面体の４つの頂点は同一平面上にありませんが，辺心図をみると輪郭は正方形に見えます．

　　立方体　→　点心図が正六角形に見える

　　正四面体　→　辺心図が正方形に見える

　　正八面体　→　面心図が正六角形に見える

　　正十二面体　→　面心図が正十角形に見える

　　正二十面体　→　点心図が正十角形に見える

　これらの正射影では，もとの正多角形の辺の中点をうまく結んだ正多角形ができます．この正多角形をペトリー多角形，この面をペトリー面（赤道面）といいます．

　ｎ次元正単体の場合，辺の中点を通るかどうか定かではないところもあるが，

［１］立方体：奇数次元では辺の中点を通るが，偶数次元では通らない．

［２］正軸体：偶奇に関わらず辺の中点を通る．

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【１】立方体の場合

　立方体の８個の頂点を（±１，±１，±１）とし，（１，１，１）と（−１，−１，−１）を結ぶ対角線に直交する平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＝０で切った切り口を求めると，

　　（−１，０，１），（０，−１，１）

　　（−１，１，０），（１，−１，０）

　　（１，０，−１），（０，１，−１）

となり，正六角形ｆ＝（６，６）が得られるというわけである．位相的には｛３｝（１１）に等しい．

　４次元では１６個の頂点を（±１，±１，±１，±１）とし，切断面：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０で切った切り口を求めると，＋１は２個，−１が２個の座標をもつ６頂点

　　（−１，−１，１，１），（−１，１，−１，１），（１，−１，−１，１）

　　（−１，１，１，−１），（１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１）

からなる図形であること判明する．これは正八面体ｆ＝（６，１２，８）である．位相的には｛３，３｝（０１０）に等しい．

　５次元でも同様に３２個の頂点を（±１，±１，±１，±１，±１），切断面：ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＝０で切った切り口を求めると，＋１は２個，−１が２個，０が１個の座標をもつ３０頂点からなる図形ｆ＝（３０，６０，４０，１０）である．位相的には｛３，３，３｝（０１１０）に等しい．

　６次元では，＋１は３個，−１が３個の座標をもつ２０頂点からなる図形ｆ＝（２０，９０，１２０，６０，１２）である．位相的には｛３，３，３，３｝（００１００）に等しい．

　７次元では，＋１は３個，−１が３個，０が１個の座標をもつ１４０頂点からなる図形ｆ＝（１４０，４２０，４９０，２８０，８４，１４）である．位相的には｛３，３，３，３，３｝（００１１００）に等しい．

　８次元では，＋１は４個，−１が４個の座標をもつ７０頂点からなる図形ｆ＝（７０，５４０，１１２０，９８０，４４８，１１２，１６）である．位相的には｛３，３，３，３，３，３｝（０００１０００）に等しい．

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【２】正軸体の場合

　正八面体の６個の頂点を（±２，０，０），（０，±２，０），（０，０，±２）とし，平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＝０で切った切り口を求めると，

　　（−１，０，１），（０，−１，１）

　　（−１，１，０），（１，−１，０）

　　（１，０，−１），（０，１，−１）

となり，正六角形ｆ＝（６，６）が得られるというわけである．位相的には｛３｝（１１）に等しい．

　４次元では８個の頂点を（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）とし，切断面：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０で切った切り口を求めると，＋１は１個，−１が１個，０が２個の座標をもつ１２頂点

　　±（１，−１，０，０），±（１，０，−１，０），±（１，０，０，−１）

　　±（０，１，−１，０），±（０，１，０，−１），±（０，０，１，−１）

からなる図形であること判明する．これは立方八面体ｆ＝（１２，２４，１４）である．位相的には｛３，３｝（１０１）に等しい．

　５次元でも同様に１０個の頂点を（±２，０，０，０，０），（０，±２，０，０，０），（０，０，±２，０，０），（０，０，０，±２，０），（０，０，０，０，±２），切断面：ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＝０で切った切り口を求めると，＋１は１個，−１が１個，０が３個の座標をもつ２０頂点からなる図形ｆ＝（２０，６０，７０，３０）である．位相的には｛３，３，３｝（１００１）に等しい．

　６次元では，＋１は１個，−１が１個，０が４個の座標をもつ３０頂点からなる図形ｆ＝（３０，１２０，２１０，１８０，６２）である．位相的には｛３，３，３，３｝（１０００１）に等しい．

　７次元では，＋１は１個，−１が１個，０が５個の座標をもつ４２頂点からなる図形ｆ＝（１４０，４２０，４９０，２８０，８４，１４）である．位相的には｛３，３，３，３，３｝（１００００１）に等しい．

　８次元では，＋１は１個，−１が１個，０が６個の座標をもつ５６頂点からなる図形ｆ＝（５６，３３６，９８０，１６８０，１７３６，１００８，２５４）である．位相的には｛３，３，３，３，３，３｝（１０００００１）に等しい．

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