不調の原因は，

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝２

に直交する切断面：

　　ｘ＋ｙ＋ｚ−３ｗ＝０

　　ｘ＋ｙ−３ｚ＋ｗ＝０

　　ｘ−３ｙ＋ｚ＋ｗ＝０

　−３ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０

が互いに直交しないことである．

　すると，

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝２

に対しては，これに直交する切断面：

　　ｘ＋ｙ−ｚ−ｗ＝０

　　ｘ−ｙ＋ｚ−ｗ＝０

　　ｘ−ｙ−ｚ＋ｗ＝０

を考えるしかないのであろうか？

　直交性にこだわらず，正軸体の中心断面から第１象限のものだけをピックアップする方法を考えてみたい（ここでは辺の中点を通る複数の切断面を考えるが，それらの図形が最終的にひとつの切断面に載るかどうかは後で考えることのする）．

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　正八面体の６個の頂点を（±２，０，０），（０，±２，０），（０，０，±２）とし，平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＝０で切った切り口を求めると，

　　（−１，０，１），（０，−１，１）

　　（−１，１，０），（１，−１，０）

　　（１，０，−１），（０，１，−１）

となり，正六角形ｆ＝（６，６）が得られるというわけである．位相的には｛３｝（１１）に等しい．

　中心を通る平面を

　　ｘ−ｙ＋０ｚ＝０（ｘ−ｙ＝０）

　　ｘ＋０ｙ−ｚ＝０（ｘ−ｚ＝０）

　　０ｘ＋ｙ−ｚ＝０）ｙ−ｚ＝０）

として，辺ｘ＋ｙ＝２，ｘ＋ｚ＝２，ｙ＋ｚ＝２との交点を求めてみると

　　ｘ−ｙ＝０→（１，１，０），（０，０，２）

　　ｘ−ｚ＝０→（０，２，０），（１，０，１）

　　ｙ−ｚ＝０→（２，０，０），（０，１，１）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　４次元では８個の頂点を（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）とし，切断面：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０で切った切り口を求めると，＋１は１個，−１が１個，０が２個の座標をもつ１２頂点

　　±（１，−１，０，０），±（１，０，−１，０），±（１，０，０，−１）

　　±（０，１，−１，０），±（０，１，０，−１），±（０，０，１，−１）

からなる図形であること判明する．これは立方八面体ｆ＝（１２，２４，１４）である．位相的には｛３，３｝（１０１）に等しい．

　中心を通る平面を

　　ｘ−ｙ＝０，ｙ−ｚ＝０，ｚ−ｗ＝０，ｗ−ｘ＝０

として，辺ｘ＋ｙ＝２，ｘ＋ｚ＝２，ｘ＋ｗ＝２，ｙ＋ｚ＝２，ｙ＋ｗ＝２，ｚ＋ｗ＝２の６辺との交点を求めてみると，

　　ｘ−ｙ＝０→（１，１，０，０），（０，０，２，０），（０，０，０，２），（０，０，１，１）

　　ｙ−ｚ＝０→（２，０，０，０），（１，０，０，１），（０，１，１，０），（０，０，０，２）

　　ｚ−ｗ＝０→（１，１，０，０），（２，０，０，０），（０，２，０，０），（０，０，１，１）

　　ｗ−ｘ＝０→（０，２，０，０），（０，０，２，０），（１，０，０，１），（０，１，１，０）

（１，１，０，０）（０，０，１，１）（０，１，１，０）（１，０，０，１）も４点が見つかった．

（１，１，０，０）−（０，１，１，０）＝（−１，０，１，０）

（１，１，０，０）−（１，０，０，１）＝（０，−１，０，１）

は直交する．この４点で正方形を作ることができそうである．

　念のため，ｘ−ｚ＝０，ｙ−ｗ＝０も追加してみる．

　　ｘ−ｚ＝０→（０，２，０，０），（１，０，１，０），（０，０，０，２），（０，１，０，１）

　　ｙ−ｗ＝０→（２，０，０，０），（１，０，１，０），（０，０，２，０），（０，１，０，１）

（１，０，１，０）（０，１，０，１）も見つかった．（１，１，０，０）を起点とするものでは（１，０，１，０）と（０，１，０，１）が直交するから，ペトリー多角形のもうひとつの頂点は（０，０，１，１）．

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［まとめ］辺の数は（ｎ＋１，２）本あるが，ｎ個の座標の中で＋１が２個，０がｎ−２個の座標をもつものから，真の頂点を選び出す必要がある．それにはｘ−ｙ＝０，・・・，ｚ−ｗ＝０，ｗ−ｘ＝０のｎ平面を計算すればよさそうである．あるいはもっと少なくて済むかもしれない．

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