ところで，正八面体の６個の頂点を（±２，０，０），（０，±２，０），（０，０，±２）とし，平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＝０で切った切り口を求めると，

　　（－１，０，１），（０，－１，１）

　　（－１，１，０），（１，－１，０）

　　（１，０，－１），（０，１，－１）

となり，正六角形ｆ＝（６，６）が得られるというわけである．位相的には｛３｝（１１）に等しい．

　４次元では８個の頂点を（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）とし，切断面：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０で切った切り口を求めると，＋１は１個，－１が１個，０が２個の座標をもつ１２頂点

　　±（１，－１，０，０），±（１，０，－１，０），±（１，０，０，－１）

　　±（０，１，－１，０），±（０，１，０，－１），±（０，０，１，－１）

からなる図形であること判明する．これは立方八面体ｆ＝（１２，２４，１４）である．位相的には｛３，３｝（１０１）に等しい．

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　これらの第１象限だけを考えることにする．４次元では

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝２

辺はｘ＋ｙ＝２，ｘ＋ｚ＝２，ｘ＋ｗ＝２，ｙ＋ｚ＝２，ｙ＋ｗ＝２，ｚ＋ｗ＝２の６辺

　これに直交する切断面：

　　ｘ＋ｙ－ｚ－ｗ＝０

　　ｘ－ｙ＋ｚ－ｗ＝０

　　ｘ－ｙ－ｚ＋ｗ＝０

を考える．これらは３次元正単体の中心（１／２，１／２，１／２，１／２）を通る．

　辺との交点は

　　（１，１，０，０），（０，０，１，１）

　　（１，０，１，０），（０，１，０，１）

　　（１，０，０，１），（０，１，１，０）

などであるが，

（１，１，０，０）－（１，０，１，０）： 距離√２

（１，１，０，０）－（１，０，０，１）： 距離√２

（１，１，０，０）－（０，０，１，１）： 距離２

（１，１，０，０）－（０，１，０，１）： 距離√２

（１，１，０，０）－（０，１，１，０）： 距離√２

角度（０，－１，１，０），（０，－１，０，１）：ｃｏｓθ＝１／２

角度（０，－１，１，０），（－１，－１，１，１）：ｃｏｓθ＝２／２√２

角度（０，－１，１，０），（－１，０，０，１）：ｃｏｓθ＝０

角度（０，－１，１，０），（－１，０，１，０）：ｃｏｓθ＝１／２

（１，１，０，０）を起点とするものでは（１，０，１，０）と（０，１，０，１）が直交するから，ペトリー多角形のもうひとつの頂点は（０，０，１，１）．このようなペトリー多角形を３組つくることができる．

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