高さｈの正三角形の内心を中心とする半径ｈ／３の円は，正三角形に内接します．この円は頂角１８０°，頂点間距離２ｈ／３の円弧二角形と考えることもできます．正三角形に内接しながら回転することができる図形には，自明な内接円の場合も含めて
円・・・・・・・・・・・半径ｈ／３（頂角１８０°，頂点間距離２ｈ／３）
ルーローの二角形・・・・半径ｈ／２（頂角１２０°，頂点間距離√３ｈ／２）
藤原・掛谷の二角形・・・半径ｈ （頂角６０° ，頂点間距離ｈ）
などがあります．正三角形の内接円もルーローの二角形も藤原・掛谷の二角形もその周長は２πｈ／３で等しくなります．
このシリーズが始まったとき，私にとって藤原・掛谷の二角形は既知のものでしたが，ルーローの二角形のことはまったく知りませんでした．私にとって未知というよりは誰も知らない，つまり，ルーローの二角形は忘れ去られた図形であったのだと思われます．今回のコラムでは「藤原・掛谷の二角形」「ルーローの二角形」が正三角形の内転形であることを証明してみます．
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【１】藤原・掛谷の二角形
(1)０≦θ≦π／６のとき
円弧の中心（０，ｈ），半径ｈ
→ ｐ（θ）＝ｈ−ｈｃｏｓθ，ｐ（０）＝ｐ’（０）＝０
(2)π／６≦θ≦５π／６のとき
円弧の中心（ｈ／２，ｈ−ｈ√３／２），半径０
→ ｐ（θ）＝−ｈ（１−√３／２）ｃｏｓθ＋ｈ／２ｓｉｎθ
(3)５π／６≦θ≦７π／６のとき
円弧の中心（０，ｈ−ｈ√３）），半径ｈ
→ ｐ（θ）＝ｈ−ｈ（１−√３）ｃｏｓθ
(4)７π／６≦θ≦１１π／６のとき
円弧の中心（−ｈ／２，ｈ−ｈ√３／２），半径０
→ ｐ（θ）＝−ｈ（１−√３／２）ｃｏｓθ−ｈ／２ｓｉｎθ
(5)１１π／６≦θ≦２πのとき
円弧の中心（０，ｈ），半径ｈ
→ ｐ（θ）＝ｈ−ｈｃｏｓθ
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【２】内転形であることの証明
ここでは，ω＝２π／３とおいて
ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝ｈ（一定）
となることを示してみます．
とはいうものの，ルーローの三角形ではπ／３毎に等分されていましたから計算は楽でしたが，藤原・掛谷の二角形では面倒になることは避けられません．しかし，０≦θ≦２πの範囲すべてを検証する必要はなく，実際は０≦θ≦ω＝２π／３の範囲で済みます．
(1)０≦θ≦π／６のとき，２π／３≦θ＋ω≦５π／６，４π／３≦θ＋２ω≦３π／２
→ ｐ（θ）＝ｈ−ｈｃｏｓθ
→ ｐ（θ＋ω）−ｈ（１−√３／２）ｃｏｓ（θ＋ω）＋ｈ／２ｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝−ｈ（１−√３／２）ｃｏｓ（θ＋２ω）−ｈ／２ｓｉｎ（θ＋２ω）
ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝ｈ
(2)π／６≦θ≦π／２のとき，５π／６≦θ＋ω≦７π／６，３π／２≦θ＋２ω≦１１π／６
→ ｐ（θ）＝−ｈ（１−√３／２）ｃｏｓθ＋ｈ／２ｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝ｈ−ｈ（１−√３）ｃｏｓ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝−ｈ（１−√３／２）ｃｏｓ（θ＋２ω）−ｈ／２ｓｉｎ（θ＋２ω）
ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝ｈ
(3)π／２≦θ≦３π／２のとき，７π／６≦θ＋ω≦４π／３，１１π／６≦θ＋２ω≦２π
→ ｐ（θ）＝−ｈ（１−√３／２）ｃｏｓθ＋ｈ／２ｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝−ｈ（１−√３／２）ｃｏｓ（θ＋ω）−ｈ／２ｓｉｎ（θ＋ω）
→ ｐ（θ＋２ω）＝ｈ−ｈｃｏｓ（θ＋２ω）
ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝ｈ
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【３】ルーローの二角形
(1)０≦θ≦π／３のとき
円弧の中心（０，ｈ／２），半径ｈ／２
→ ｐ（θ）＝ｈ／２−ｈ／２ｃｏｓθ，ｐ（０）＝ｐ’（０）＝０
(2)π／３≦θ≦２π／３のとき
円弧の中心（ｈ√３／４，ｈ／４），半径０
→ ｐ（θ）＝−ｈ／４ｃｏｓθ＋ｈ√３／４ｓｉｎθ
(3)２π／３≦θ≦４π／３のとき
円弧の中心（０，０），半径ｈ／２
→ ｐ（θ）＝ｈ／２
(4)４π／３≦θ≦５π／３のとき
円弧の中心（−ｈ√３／４，ｈ／４），半径０
→ ｐ（θ）＝−ｈ／４ｃｏｓθ−ｈ√３／４ｓｉｎθ
(5)５π／３≦θ≦２πのとき
円弧の中心（０，ｈ／２），半径ｈ／２
→ ｐ（θ）＝ｈ／２−ｈ／２ｃｏｓθ
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【４】内転形であることの証明
(1)０≦θ≦π／３のとき，２π／３≦θ＋ω≦π，４π／３≦θ＋２ω≦５π／３
→ ｐ（θ）＝ｈ／２−ｈ／２ｃｏｓθ
→ ｐ（θ＋ω）＝ｈ／２
→ ｐ（θ＋２ω）＝−ｈ／４ｃｏｓ（θ＋２ω）−ｈ√３／４ｓｉｎ（θ＋２ω）
ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝ｈ
(2)π／３≦θ≦２π／３のとき，π≦θ＋ω≦４π／３，５π／３≦θ＋２ω≦２π
→ ｐ（θ）＝−ｈ／４ｃｏｓθ＋ｈ√３／４ｓｉｎθ
→ ｐ（θ＋ω）＝ｈ／２
→ ｐ（θ＋２ω）＝ｈ／２−ｈ／２ｃｏｓ（θ＋２ω）
ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝ｈ
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