（α／２，β／２）を中心とする半径ａ0／２の円の直交座標におけるパラメータ表示式を

　　ｘ＝α／２＋ａ0／２ｃｏｓ（θ−π／２）＝α／２＋ａ0／２ｓｉｎθ

　　ｙ＝β／２＋ａ0／２ｓｉｎ（θ−π／２）＝β／２−ａ0／２ｃｏｓθ

として，これを

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

に代入すると，接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓθ＋ｂ1ｓｉｎθ

　　ａ1＝−β／２，ｂ1＝α／２

で与えられます．

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ａ0

ですから，円は定幅曲線でその曲率半径は

　　ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）＝ａ0／２

より，ａ0／２となります．また，

　　Σ(k=0~n-1)ｐ（θ＋ｋω）＝ｎｒ（一定），ω＝２π／ｎ

ですから，円は正ｎ角形の内転形です．

　それでは，ルーローの三角形の接線極座標における方程式はどのように書けるのでしょうか？

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【２】ルーローの三角形

　ルーローの三角形（頂角２π／３）は区分毎に円弧を接続した曲線ですが，接線極座標を用いると各部分の継ぎ目でθをジャンプさせずに接続させることができます．

(1)中心を（０，ｒ）とする半径ｒの円の接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝ｒ−ｒｃｏｓθ

で与えられますから

　　０≦θ≦π／６　→　ｐ（θ）＝ｒ−ｒｃｏｓθ

　　ｐ（０）＝ｐ’（０）＝０

(2)π／６≦θ≦π／２のとき

　　円弧の中心（ｒ／２，ｒ−ｒ√３／２），半径０

と考えます．すると

　→　ｐ（θ）＝−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓθ＋ｒ／２ｓｉｎθ

(3)π／２≦θ≦５π／６のとき

　　円弧の中心（−ｒ／２，ｒ−ｒ√３／２），半径ｒ

　→　ｐ（θ）＝ｒ−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓθ−ｒ／２ｓｉｎθ

(4)５π／６≦θ≦７π／６のとき

　　円弧の中心（０，ｒ），半径０

　→　ｐ（θ）＝−ｒｃｏｓθ

(5)７π／６≦θ≦３π／２のとき

　　円弧の中心（ｒ／２，ｒ−ｒ√３／２），半径ｒ

　→　ｐ（θ）＝ｒ−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓθ＋ｒ／２ｓｉｎθ

(6)３π／２≦θ≦１１π／６のとき

　　円弧の中心（−ｒ／２，ｒ−ｒ√３／２），半径０

　→　ｐ（θ）＝−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓθ−ｒ／２ｓｉｎθ

(7)１１π／６≦θ≦２πのとき

　　円弧の中心（０，ｒ），半径ｒ

　→　ｐ（θ）＝ｒ−ｒｃｏｓθ

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【２】定幅曲線

　ルーローの三角形は幅が一定の曲線で円ではないものの古典的な例になっています．ここでは，そのことを証明してみます．

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ｒ（一定）

となることが示せればよいのですが，

(1)０≦θ≦π／６のとき，π≦θ＋π≦７π／６

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ｒ−ｒｃｏｓθ−ｒｃｏｓ（θ＋π）＝ｒ

(2)π／６≦θ≦π／２のとき，７π／６≦θ＋π≦３π／２

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓθ＋ｒ／２ｓｉｎθ＋ｒ−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓ（θ＋π）＋ｒ／２ｓｉｎ（θ＋π）＝ｒ

(3)π／２≦θ≦５π／６のとき，３π／２≦θ＋π≦１１π／６

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ｒ−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓθ−ｒ／２ｓｉｎθ−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓ（θ＋π）−ｒ／２ｓｉｎ（θ＋π）＝ｒ

(4)５π／６≦θ≦７π／６のとき，１１π／６≦θ＋π≦１３π／６

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝−ｒｃｏｓθ＋ｒ−ｒｃｏｓ（θ＋π）＝ｒ

以下同様．

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【３】ルーローの三角形の平行曲線

　また，各角内に半径ｒ＋ａ，各対角内に半径ａの円弧を描いても定幅曲線が得られます．

(1)０≦θ≦π／６のとき

　　円弧の中心（０，ｒ），半径ｒ＋ａ

　→　ｐ（θ）＝ｒ＋ａ−ｒｃｏｓθ，ｐ（０）＝ｐ’（０）＝０

(2)π／６≦θ≦π／２のとき

　　円弧の中心（ｒ／２，ｒ−ｒ√３／２），半径ａ

　→　ｐ（θ）＝ａ−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓθ＋ｒ／２ｓｉｎθ

(3)π／２≦θ≦５π／６のとき

　　円弧の中心（−ｒ／２，ｒ−ｒ√３／２），半径ｒ＋ａ

　→　ｐ（θ）＝ｒ＋ａ−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓθ−ｒ／２ｓｉｎθ

(4)５π／６≦θ≦７π／６のとき

　　円弧の中心（０，ｒ），半径ａ

　→　ｐ（θ）＝ａ−ｒｃｏｓθ

(5)７π／６≦θ≦３π／２のとき

　　円弧の中心（ｒ／２，ｒ−ｒ√３／２），半径ｒ＋ａ

　→　ｐ（θ）＝ｒ＋ａ−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓθ＋ｒ／２ｓｉｎθ

(6)３π／２≦θ≦１１π／６のとき

　　円弧の中心（−ｒ／２，ｒ−ｒ√３／２），半径ａ

　→　ｐ（θ）＝ａ−ｒ（１−√３／２）ｃｏｓθ−ｒ／２ｓｉｎθ

(7)１１π／６≦θ≦２πのとき

　　円弧の中心（０，ｒ），半径ｒ＋ａ

　→　ｐ（θ）＝ｒ＋ａ−ｒｃｏｓθ

となり，同様に証明できます．

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【４】ルーローの奇数角形

　三角形の代わりに（２ｑ＋１）角形についても同様です．

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