［９］｛３，３，３｝（１１１１）

　頂点に集まる３次元面は

　　｛３，３｝（１，１，１）１個→（４，６，６）

　　｛３｝（１，１）×｛｝（１）１個→（４，４，６）

　　｛｝（１）×｛３｝（１，１）１個→（４，４，６）

　　｛３，３｝（１，１，１）１個→（４，６，６）

　４点からなる図形で，頂点次数は４であるからその辺数は６である．

　　ｙ＋ｚ＝６

　　ｙ／４＋ｚ／６＝５／４→３ｙ＋２ｚ＝１５

　　ｙ＝３，ｚ＝３

　　ｆ2＝（３／４＋３／６）ｆ0＝１５０

　対称性の高い図形では頂点図形の双対のかたちがわかりやすい．正単体切頂切稜型の空間充填多面体（ミンコフスキー多面体）の場合を調べてみたい．

にもあてはまるだろうか？

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［２］｛３，３，３｝（１，１，１，１）＝（１２０，２４０，１５０，３０）

　頂点回りには

　　切頂面｛３，３｝（１１１）１個（切頂八面体）

　　切稜面｛３｝（１１）×｛｝（１）１個（六角柱）

　　２次元面｛｝（１）×｛３｝（１１）１個（六角柱）

　　３次元面｛３，３｝（１１１）１個（切頂八面体）

　　｛３，３｝（１１１）１個・・・頂点数２４

　　｛３｝（１１）×｛｝（１）１個・・・頂点数１２

　　ｆ3＝（２／２４＋２／１２）・ｆ0＝１０＋２０＝３０

　　｛３｝（１１）ｘ個・・・頂点数６

　　｛｝（１）×｛｝（１）ｙ個・・・頂点数４

　　ｆ2＝（ｘ／６＋ｙ／４）・ｆ0＝２０ｘ＋３０ｙ＝１５０

　　ｘ＝３，ｙ＝３

　次数４で，

　　ｆ1＝（４／２）・ｆ0＝２４０

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［３］｛３，３，３，３｝（１，１，１，１，１）＝（７２０，１８００，１５６０，５４０，６２）

　頂点回りには

　　切頂面｛３，３，３｝（１１１１）１個・・・頂点数１２０

　　切稜面｛３，３｝（１１１）×｛｝（１）１個・・・頂点数４８

　　２次元面｛３｝（１１）×｛３｝（１１）１個・・・頂点数３６

　　３次元面｛｝（１）×｛３，３｝（１１１）１個・・・頂点数４８

　　４次元面｛３，３，３｝（１１１１）１個・・・頂点数１２０

　　ｆ4＝（２／１２０＋２／４８＋１／３６）ｆ0＝１２＋３０＋２０＝６２

　５点からなる図形で，頂点次数は５であるからその３次元面数は５である．これは４次元正単体であるから，辺数１０，２次元面数１０である．

　　｛３，３｝（１１１）ｘ個・・・頂点数２４

　　｛３｝（１１）×｛｝（１）ｙ個・・・頂点数１２

　　ｘ＋ｙ＝１０

　　ｆ3＝（ｘ／２４＋ｙ／１２）・ｆ0＝３０ｘ＋６０ｙ＝５４０

　　ｘ＝２，ｙ＝８

　　｛３｝（１１）ｘ個・・・頂点数６

　　｛｝（１）×｛｝（１）ｙ個・・・頂点数４

　　ｘ＋ｙ＝１０

　　ｆ2＝（ｘ／６＋ｙ／４）・ｆ0＝１２０ｘ＋２４０ｙ＝１５６０

　　ｘ＋２ｙ＝１３，ｘ＝７，ｙ＝３

　次数５で，

　　ｆ1＝（５／２）・ｆ0＝１８００

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［４］｛３，３，３，３，３｝（１，１，１，１，１，１）＝（５０４０，１５１２０，１６８００，８４００，１８０６，１２６）

　頂点回りには

　　切頂面｛３，３，３，３｝（１１１１１）１個・・・頂点数７２０

　　切稜面｛３，３，３｝（１１１１）×｛｝（１）１個・・・頂点数２４０

　　２次元面｛３，３｝（１１１）×｛３｝（１１）１個・・・頂点数１４４

　　３次元面｛３｝（１１）×｛３，３｝（１１１）１個・・・頂点数１４４　　４次元面｛｝（１）×｛３，３，３｝（１１１１）１個・・・頂点数２４０

　　５次元面｛３，３，３，３｝（１１１１１）１個・・・頂点数７２０

　　ｆ5＝（２／７２０＋２／２４０＋２／１４４）ｆ0＝１４＋４２＋７０＝１２６

　６点からなる図形で，頂点次数は６であるからその４次元面数は６である．これは５次元正単体であるから，辺数１５，２次元面数２０，３次元面数１５である．

　ｎ−２次元面

　　｛３，３，３｝（１１１１）ｘ個・・・頂点数１２０

　　｛３，３｝（１１１）×｛｝（１）ｙ個・・・頂点数４８

　　｛３｝（１１）×｛３｝（１１）ｚ個・・・頂点数３６

　　ｆ4＝（ｘ／１２０＋ｙ／４８＋ｚ／３６）ｆ0＝４２ｘ＋１０５ｙ＋１４０ｚ＝１８０６→６ｘ＋１５ｙ＋２０ｚ＝２５８

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝１５→ｘ＝３，ｙ＝０，ｚ＝１２→これはｎ−２次元面の見積もりが悪いためである．

　ｎ−３次元面

　　｛３，３｝（１１１）ｘ個・・・頂点数２４

　　｛３｝（１１）×｛｝（１）ｙ個・・・頂点数１２

　　ｆ3＝（ｘ／２４＋ｙ／１２）・ｆ0＝２１０ｘ＋４２０ｙ＝８４００→ｘ＋２ｙ＝４０

　　ｘ＋ｙ＝２０，ｘ＝０，ｙ＝２０→これはｎ−３次元面の見積もりが悪いためである．

　ｎ−４次元面

　　｛３｝（１１）ｘ個・・・頂点数６

　　｛｝（１）×｛｝（１）ｙ個・・・頂点数４

　　ｆ2＝（ｘ／６＋ｙ／４）・ｆ0＝８４０ｘ＋１２６０ｙ＝１６８００→２ｘ＋３ｙ＝４０

　　ｘ＋ｙ＝１５→ｘ＝５，ｙ＝１０

　次数６で，

　　ｆ1＝（６／２）・ｆ0＝１５１２０

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