フルヴィッツ・藤原曲線の接線極座標における方程式は，

　　ｐ（θ）＝ｒ＋ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｒ≧｛（ｎ−１）^2−１｝ａ

であるが，その一般式は

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓ｛（ｎ−１）θ｝＋ｂ1ｓｉｎ｛（ｎ−１）θ｝　　　（ｎ≧３）

　　ａ0／２≧｛（ｎ−１）^2−１｝（ａ1^2＋ｂ1^2）^1/2

と表すことができる．

　アステロイドの平行曲線はフルヴィッツ・藤原曲線であるが，ハイポサイクロイドの平行曲線は一般にフルヴィッツ・藤原曲線にならないことがわかっている．アステロイドだけが特別な場合なのである．それではその平行曲線がフルヴィッツ・藤原曲線となる曲線を求めてみようというのが今回のテーマである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】中心曲線の軌跡

　（ξ，η）の平行曲線

　　ｘ＝ξ（θ）−ｃｄη／ｄθ／Ａ

　　ｙ＝η（θ）＋ｃｄξ／ｄθ／Ａ

　　Ａ＝｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)

を接線極座標における方程式

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

に代入すると

　　｛ξ（θ）−ｃｄη／ｄθ／Ａ｝ｓｉｎθ−｛η（θ）＋ｃｄξ／ｄθ／Ａ｝ｃｏｓθ＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓ｛（ｎ−１）θ｝＋ｂ1ｓｉｎ｛（ｎ−１）θ｝

　したがって，

　　ξ（θ）−ｃｄη／ｄθ／Ａ＝ａ0／２ｓｉｎθ＋ａ1ｓｉｎｎθ−ｂ1ｃｏｓｎθ

　　η（θ）＋ｃｄξ／ｄθ／Ａ＝−ａ0／２ｃｏｓθ−ａ1ｃｏｓｎθ−ｂ1ｓｉｎｎθ

より

　　｛ξ（θ）−ａ0／２ｓｉｎθ−ａ1ｓｉｎｎθ＋ｂ1ｃｏｓｎθ｝ｄξ／ｄθ＋｛η（θ）＋ａ0／２ｃｏｓθ＋ａ1ｃｏｓｎθ＋ｂ1ｓｉｎｎθ｝ｄη／ｄθ＝０

　　｛ξ（θ）−ａ0／２ｓｉｎθ−ａ1ｓｉｎｎθ＋ｂ1ｃｏｓｎθ｝^2＋｛η（θ）＋ａ0／２ｃｏｓθ＋ａ1ｃｏｓｎθ＋ｂ1ｓｉｎｎθ｝^2＝ｒ^2

の中心の軌跡は

　　ξ（θ）＝ａ0／２ｓｉｎθ＋ａ1ｓｉｎｎθ−ｂ1ｃｏｓｎθ

　　η（θ）＝−ａ0／２ｃｏｓθ−ａ1ｃｏｓｎθ−ｂ1ｓｉｎｎθ

になる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ハイポサイクロイドの平行曲線は一般にフルヴィッツ・藤原曲線にならないが，しかしながら，中心曲線はハイポサイクロイドに似た曲線になることは容易に想像されるところである．

　［１］の計算はもちろん最初から

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓ｛（ｎ−１）θ｝＋ｂ1ｓｉｎ｛（ｎ−１）θ｝＝ａ＋ｂｓｉｎ｛（ｎ−１）θ＋γ｝

　　ａ＝ａ0／２，ｂ＝（ａ1^2＋ｂ1^2）^1/2，γ＝ａｒｃｔａｎ（ａ1／ｂ1）

とすることもできるし，最後の式

　　ξ（θ）＝ａ0／２ｓｉｎθ＋ａ1ｓｉｎｎθ−ｂ1ｃｏｓｎθ

　　η（θ）＝−ａ0／２ｃｏｓθ−ａ1ｃｏｓｎθ−ｂ1ｓｉｎｎθ

において，

　　ξ（θ）＝ａｓｉｎθ−ｂｃｏｓ（ｎθ＋γ）

　　η（θ）＝−ａｃｏｓθ−ｂｓｉｎ（ｎθ＋γ）

　　ａ＝ａ0／２，ｂ＝（ａ1^2＋ｂ1^2）^1/2，γ＝ａｒｃｔａｎ（ａ1／ｂ1）

としても構わない．ｎ＝３とおいた場合がアステロイドということになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】中心曲線の次数

　平行曲線の次数は２ｎ次であることがわかっているが，それでは中心曲線はどうなるのだろう．

　簡単にするため，

　　ξ（θ）＝ａｓｉｎθ−ｂｃｏｓｎθ

　　η（θ）＝−ａｃｏｓθ−ｂｓｉｎｎθ

とおいて

　　ξｓｉｎθ−ηｃｏｓθ＝ｐ（θ）

に代入すると，接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝ａ＋ｂｓｉｎ（ｎ−１）θ

となり，その平行曲線と同形になる．したがって，中心曲線の次数も２ｎ次ということになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝