高次元準正多胞体において，頂点に集まるｎ−１次元胞については完全に理解できたが，頂点に集まるｎ−２次元以下の胞については，まだ理解が及んででいない．しばらく寝かせておいたが，いつまでたってもいいアイデアは浮かばない．やはりいいアイデアはいつも考えている頭のなかにこそ宿るものなのであろう．仕方がないから，正多面体の場合を考えてみたい．

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【１】３次元の場合

［１］｛３，３｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元面数はそれぞれ３，３である．これは

　　ｆ1＝３／２・ｆ0

　　ｆ2＝３／３・ｆ0

として求めることができる．

［２］｛３，４｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元面数はそれぞれ４，４である．これは

　　ｆ1＝４／２・ｆ0

　　ｆ2＝４／３・ｆ0

として求めることができる．

［３］｛４，３｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元面数はそれぞれ３，３である．これは

　　ｆ1＝３／２・ｆ0

　　ｆ2＝３／４・ｆ0

として求めることができる．

［４］｛３，５｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元面数はそれぞれ５，５である．これは

　　ｆ1＝５／２・ｆ0

　　ｆ2＝５／３・ｆ0

として求めることができる．

［５］｛５，３｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元面数はそれぞれ３，３である．これは

　　ｆ1＝３／２・ｆ0

　　ｆ2＝３／５・ｆ0

として求めることができる．

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【２】４次元の場合

［１］｛３，３，３｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元，３次元面数はそれぞれ４，６，４である．これは

　　ｆ1＝４／２・ｆ0

　　ｆ2＝６／３・ｆ0

　　ｆ3＝４／４・ｆ0

として求めることができる．

［２］｛３，３，４｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元，３次元面数はそれぞれ６，１２，８である．これは

　　ｆ1＝６／２・ｆ0

　　ｆ2＝１２／３・ｆ0

　　ｆ3＝８／４・ｆ0

として求めることができる．

［３］｛４，３，３｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元，３次元面数はそれぞれ４，６，４である．これは

　　ｆ1＝４／２・ｆ0

　　ｆ2＝６／４・ｆ0

　　ｆ3＝４／８・ｆ0

として求めることができる．

［４］｛３，４，３｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元，３次元面数はそれぞれ８，１２，６である．これは

　　ｆ1＝８／２・ｆ0

　　ｆ2＝１２／３・ｆ0

　　ｆ3＝６／６・ｆ0

として求めることができる．

［５］｛３，３，５｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元，３次元面数はそれぞれ１２，３０，２０である．これは

　　ｆ1＝１２／２・ｆ0

　　ｆ2＝３０／３・ｆ0

　　ｆ3＝２０／４・ｆ0

として求めることができる．

［６］｛５，３，３｝の頂点の回りの集まる１次元，２次元，３次元面数はそれぞれ４，６，４である．これは

　　ｆ1＝４／２・ｆ0

　　ｆ2＝６／５・ｆ0

　　ｆ3＝４／２０・ｆ0

として求めることができる．

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［まとめ］γn（超立方体）において，ｋ次元胞を含むｍ次元胞（ｎ＞ｍ＞ｋ≧０）の個数は，結果的にはαn（正単体）のときと同一になる．すなわち，

　　（ｎ−ｋ，ｎ−ｍ）

　このことは

［１］γnがβn（正軸体）の双対（相反）であり，そのｋ次元胞がβnのｎ−ｋ−１次元胞の数と一致すること

［２］βnの（ｎ−１）次元以下の胞が正単体であること

から理解されるが，４次元正１２０胞体においてもこのことが成り立つのである．

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