平面曲線の平行曲線とは，そのすべての法線を直角に曲線上の点から一定の長さの線分を切り取る点の軌跡である．
（その２）では
代数曲線としての次数 平行曲線の次数
デルトイド ４次 12次
アステロイド ６次 ６次
を示すことができたが，一般のハイポサイクロイド
ξ＝ａ（（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ）
η＝ａ（（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ）
の平行曲線はどうなるのだろう．
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【１】ハイポサイクロイドの次数
「トロコイドの幾何学」シリーズは，ハイポサイクロイドの次数ばかりでなく，代数曲線の方程式を求めるものであった．一般に２ｎ次になることが示されたが，ここでは次数のみを再度計算してみることにする．
計算の都合上，
ξ＝ａ（（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ）
η＝−ａ（（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ）
とおいて
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）
に代入すると，ハイポサイクロイドの接線極座標における方程式は
ｐ（θ）＝（ｎ−１）ａｓｉｎ２θ−ａｓｉｎ（ｎ−２）θ
で与えられる．ここで，
ｐ（θ）→ｒ＝√（ｘ^2＋ｙ^2）
ｃｏｓθ→ｘ／ｒ
ｓｉｎθ→ｙ／ｒ
と置き換えてみる．
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［１］ｎ＝３
ｒ＝４ａｘｙ／ｒ^2−ａｙ／ｒ
ｒ^3＝４ａｘｙ−ａｙｒ
ｒ（ｒ^2＋ａｙ）＝４ａｘｙ
ｒ^2（ｒ^2＋ａｙ）^2＝（４ａｘｙ）^2
（ｘ^2＋ｙ^2）（ｘ^2＋ｙ^2＋ａｙ）^2＝（４ａｘｙ）^2
→ ６次式（となったが，実際は４次式である．）
［２］ｎ＝４
ｒ＝４ａｘｙ／ｒ^2
ｒ^3＝４ａｘｙ
ｒ^6＝（４ａｘｙ）^2
（ｘ^2＋ｙ^2）^3＝（４ａｘｙ）^2 → ６次式
［３］ｎ＝５
ｒ＝８ａｘｙ／ｒ^2−ａ（−４ｙ^3／ｒ^3＋３ｙ／ｒ）
ｒ^4＝８ａｘｙｒ−ａ（−４ｙ^3＋３ｙｒ^2）
ｒ^4＋３ａｙｒ^2−４ａｙ^3＝８ａｘｙｒ
（ｒ^4＋３ａｙｒ^2−４ａｙ^3）^2＝（８ａｘｙ）^2ｒ^2
（（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋３ａｙ（ｘ^2＋ｙ^2）−４ａｙ^3）^2＝（８ａｘｙ）^2（ｘ^2＋ｙ^2） → ８次式
［４］ｎ＝６
ｒ＝１０ａｘｙ／ｒ^2−ａ（−８ｘｙ^3／ｒ^4＋４ｘｙ／ｒ^2）
ｒ^5＝１０ａｘｙｒ^2−ａ（−８ｘｙ^3＋４ｘｙｒ^2）
ｒ^10＝（６ａｘｙｒ^2＋８ａｘｙ^3）^2
（ｘ^2＋ｙ^2）^5＝（６ａｘｙ（ｘ^2＋ｙ^2）＋８ａｘｙ^3）^2 → １０次式
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【２】ハイポサイクロイドの平行曲線
ハイポサイクロイド
ξ＝ａ（（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ）
η＝ａ（（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ）
において，
ｄε／ｄθ＝−（ｎ−１）ａ（ｓｉｎθ＋ｓｉｎ（ｎ−１）θ）
ｄη／ｄθ＝（ｎ−１）ａ（ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ−１）θ）
（ｄε／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2＝（ｎ−１）^2ａ^2（２−２ｃｏｓｎθ）＝２（ｎ−１）^2ａ^2（１−ｃｏｓｎθ）
ですから，平行曲線は
ｘ＝ａ（（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）＋ｂ（ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ−１）θ）／（１−ｃｏｓｎθ）^1/2
ｙ＝ａ（（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ）＋ｂ（ｓｉｎθ＋ｓｉｎ（ｎ−１）θ）／（１−ｃｏｓｎθ）^1/2
のようになる．
計算の都合上，ハイポサイクロイドの平行曲線の方程式を
ｘ＝ａ（（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）＋ｂ（ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ−１）θ）／（１−ｃｏｓｎθ）^1/2
ｙ＝−ａ（（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ）−ｂ（ｓｉｎθ＋ｓｉｎ（ｎ−１）θ）／（１−ｃｏｓｎθ）^1/2
とおいて
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）
に代入すると，接線極座標における方程式は
ｐ（θ）＝（ｎ−１）ａｓｉｎ２θ−ａｓｉｎ（ｎ−２）θ＋ｂ（ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎ（ｎ−２）θ）／（１−ｃｏｓｎθ）^1/2）
で与えられる．ハイポサイクロイドの平行曲線は一般に内転形にならないことが理解される．
ここで前節と同様，
ｐ（θ）→ｒ＝√（ｘ^2＋ｙ^2）
ｃｏｓθ→ｘ／ｒ
ｓｉｎθ→ｙ／ｒ
と置き換えてみる．
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［１］ｎ＝５
｛ｒ−８ａｘｙ／ｒ^2＋ａ（−４ｙ^3／ｒ^3＋３ｙ／ｒ）｝^2＝ｂ^2（２ｘｙ／ｒ^2−４ｙ^3／ｒ^3＋３ｙ／ｒ）^2／（１−１６ｘ^5／ｒ^5＋２０ｘ^3／ｒ^3−５ｘ／ｒ）
（１−１６ｘ^5／ｒ^5＋２０ｘ^3／ｒ^3−５ｘ／ｒ）｛ｒ−８ａｘｙ／ｒ^2＋ａ（−４ｙ^3／ｒ^3＋３ｙ／ｒ）｝^2＝ｂ^2（２ｘｙ／ｒ^2−４ｙ^3／ｒ^3＋３ｙ／ｒ）^2
（ｒ^5−１６ｘ^5＋２０ｘ^3ｒ^2−５ｘｒ^4）｛ｒ^4−８ａｘｙｒ＋ａ（−４ｙ^3＋３ｙｒ^2）｝^2＝ｂ^2ｒ^5（２ｘｙｒ−４ｙ^3＋３ｙｒ^2）^2
（ｒ^5−１６ｘ^5＋２０ｘ^3ｒ^2−５ｘｒ^4）｛−８ａｘｙｒ＋ｒ^4＋ａ（−４ｙ^3＋３ｙｒ^2）｝^2＝ｂ^2ｒ^5（２ｘｙｒ−４ｙ^3＋３ｙｒ^2）^2
（ｒ^5−１６ｘ^5＋２０ｘ^3ｒ^2−５ｘｒ^4）｛−１６ａｘｙｒ（ｒ^4＋ａ（−４ｙ^3＋３ｙｒ^2））＋（８ａｘｙ）^2ｒ^2＋（ｒ^4＋ａ（−４ｙ^3＋３ｙｒ^2）^2｝＝ｂ^2ｒ^5｛−２ｘｙｒ（４ｙ^3−３ｙｒ^2）＋（２ｘｙ）^2ｒ^2＋（４ｙ^3−３ｙｒ^2）^2｝
これ以降は次数のみ計算するが，
［ｒ^5］（［ｘｙｒ^5］＋［ｙ^2ｒ^4］）＝［ｒ^5］（［ｘｙ^4ｒ］＋［ｘ^2ｙ^2ｒ^2］）
となって，２４次式になることがわかる．
［２］ｎ＝６
｛ｒ−１０ａｘｙ／ｒ^2＋ａ（−８ｘｙ^3／ｒ^4＋４ｘｙ／ｒ^2）｝^2＝ｂ^2（２ｘｙ／ｒ^2＋１０ｙ^5／ｒ^5−２０ｙ^3／ｒ^3＋５ｙ／ｒ）^2／（２−３２ｘ^6／ｒ6＋４８ｘ^4／ｒ^4−１８ｘ^2／ｒ^2）
（２−３２ｘ^6／ｒ6＋４８ｘ^4／ｒ^4−１８ｘ^2／ｒ^2）｛ｒ−１０ａｘｙ／ｒ^2＋ａ（−８ｘｙ^3／ｒ^4＋４ｘｙ／ｒ^2）｝^2＝ｂ^2（２ｘｙ／ｒ^2＋１０ｙ^5／ｒ^5−２０ｙ^3／ｒ^3＋５ｙ／ｒ）^2
（２ｒ^6−３２ｘ^6＋４８ｘ^4ｒ^2−１８ｘ^2ｒ^4）｛ｒ^5−１０ａｘｙｒ^2＋ａ（−８ｘｙ^3＋４ｘｙｒ^2）｝^2＝ｂ^2ｒ^4（２ｘｙｒ^3＋１０ｙ^5−２０ｙ^3ｒ^2＋５ｙｒ^4）^2
（２ｒ^6−３２ｘ^6＋４８ｘ^4ｒ^2−１８ｘ^2ｒ^4）｛２（−１０ａｘｙｒ^2＋ａ（−８ｘｙ^3＋４ｘｙｒ^2））ｒ^5＋ｒ^10＋（−１０ａｘｙｒ^2＋ａ（−８ｘｙ^3＋４ｘｙｒ^2））^2｝＝ｂ^2ｒ^4｛４ｘｙ（１０ｙ^5−２０ｙ^3ｒ^2＋５ｙｒ^4）ｒ^3＋（２ｘｙ）^2＋（１０ｙ^5−２０ｙ^3ｒ^2＋５ｙｒ^4）^2｝
これ以降は次数のみ計算するが，
［ｒ^6］（［ｘｙｒ^7］＋［ｒ^10］）＝［ｒ^4］（［ｘｙｒ^7］＋［ｙ^10］）
となって，３０次式になることがわかる．
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【３】まとめ
ハイポサイクロイド 代数曲線としての次数 平行曲線の次数
デルトイド ４次 12次
アステロイド ６次 ６次
ｎ＝５ ８次 24次
ｎ＝６ 10次 30次
この数値は著者がコンピュータを用いずに，手計算で求めた値であるから信頼率は50%以下であるが，アステロイドの場合を除き，平行曲線の次数は代数曲線としての次数×３となっているので，おそらく正しいものと思われる．正三角形の内転形となるアステロイドの平行曲線がその次数においてもいかに特別な場合であるか理解されるであろう．
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