【１】４次元正多胞体

　３次元正多面体の二面角δは

　｛３，３｝→ｃｏｓδ＝１／３　　（δ＝７０．５°）

　｛３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／３　　（δ＝１０９．５°）

　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／３　　（δ＝１３８．２°）

　｛４，３｝→ｃｏｓδ＝０　　（δ＝９０°）

　｛５，３｝→ｃｏｓδ＝−√５／５　　（δ＝１１６．６°）

である．

　３次元同様，４次元正多胞体の候補となるのは，二面角が１２０°未満であるあるから，

［１］｛３，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個，４個，５個集めることができる．→｛３，３，３｝，（３，３，４｝，｛３，３，５｝

［２］｛３，４｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる．→｛３，４，３｝

［３］｛４，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる．→｛４，３，３｝

［３］｛５，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる．→｛５，３，３｝

　４次元正多胞体は最大でも６つしかないことになる．

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【２】５次元正多胞体

　４次元正多胞体の二胞角δは

　｛３，３，３｝→ｃｏｓδ＝１／４　　（δ＝７５．５°）

　｛３，３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／２　　（δ＝１２０°）

　｛３，３，５｝→ｃｏｓδ＝−（１＋３√５）／８　　（δ＝１６４．５°）

　｛３，４，３｝→ｃｏｓδ＝−１／２　　（δ＝１２０°）

　｛４，３，３｝→ｃｏｓδ＝０　　（δ＝９０°）

　｛５，３，３｝→ｃｏｓδ＝−（１＋√５）／４　　（δ＝１４４°）

である．

　５次元正多胞体の候補となるのは，二胞角が１２０°未満であるあるから，

［１］｛３，３，３｝を用いるならば，ひとつの面にそれを３個，４個集めることができる．二面角が７２°以上であるから５個集めることはできない．→｛３，３，３，３｝，（３，３，３，４｝

［２］｛４，３，３｝を用いるならば，ひとつの面にそれを３個集めることができる．→｛４，３，３｝

　５次元正多胞体は最大でも３つしかないことになる．

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【３】ｎ（≧５）次元正多胞体

　ｎ次元正多胞体の二胞角δは

　｛３，３，，・・，３｝→ｃｏｓδ＝１／ｎ　　（７５．５°＜δ＜９０°）

　｛３，３，，・・，４｝→ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ　　（１２０°＜δ＜１８０°）

　｛４，３，，・・，３｝→ｃｏｓδ＝０　　（δ＝９０°）

である．

　ｎ次元正多胞体の候補となるのは，二胞角が１２０°未満であるあるから，

［１］｛３，３，・・，３｝を用いるならば，ひとつのｎ−３次元面にそれを３個，４個集めることができる．二面角が７２°以上であるから５個集めることはできない．→｛３，３，・・，３，３｝，（３，３，・・，３，４｝

［２］｛４，３，・・，３｝を用いるならば，ひとつのｎ−３次元面にそれを３個集めることができる．→｛４，３，・・３，３｝

　ｎ（≧５）次元正多胞体は最大でも３つしかないことになる．

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