【１】多角形の内角の和

［１］三角形の内角の和は１８０°である．

［２］どんな四角形も対角線を引くことで２つの三角形の分割できるから，四角形の内角の和は１８０°×２＝３６０°である．

［３］どんな五角形も対角線を引くことで３つの三角形の分割できるから，五角形の内角の和は１８０°×３＝４８０°である．

［４］どんな六角形も対角線を引くことで４つの三角形の分割できるから，六角形の内角の和は１８０°×４＝７２０°である．

［５］どんなｎ角形も対角線を引くことでｎ−２個つの三角形の分割できるから，ｎ角形の内角の和は１８０°×（ｎ−２）である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】正多角形の内角

　これより正多面体の内角は

　　１８０°×（ｎ−２）／ｎ

［１］正三角形：６０°

［２］正方形：９０°

［３］正五角形：１０８°

［４］正六角形：１２０°

［５］正七角形：１２８．５７°

［６］正八角形：１３５°

［７］正九角形：１４０°

［８］正十角形：１４４°

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】正多面体は本当の５種類しかないの？

［１］正多面体の面になる可能性がある正多角形は内角＜１２０°であるから，正三角形，正方形，正五角形の３種類に絞られる．

［２］面が三角形のとき，立体になる可能性があるのは１点の回りに３個か４個か５個集まっているときに絞られる．（実際に貼り合わせてみると，底のない三角錐・四角錐・五角錐になる．）

［３］面が正方形のとき，立体になる可能性があるのは１点の回りに３個集まっているときに絞られる．

［４］面が正五角形のとき，立体になる可能性があるのは１点の回りに３個集まっているときに絞られる．

　こうしてすべての可能性について調べあげた結果，正多面体は５種類しかあり得ず，それらは実際に正多面体になることが証明されたというわけである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝