（その３）では正ｎ角形の辺数はｎであることを見た．冗長あるいは饒舌すぎるかもしれないが，今回のコラムはそこからの逸脱である．

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【１】オイラー・ポアンカレの定理

　オイラー・ポアンカレの定理とは，凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立つというものである．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈される．

　オイラー・ポアンカレの定理の２次元版を紹介すると，凸多角形では，

　　ｖ−ｅ＝０

であるから，ｎ角形は必然的にｎ辺形になるし，また，４次元空間では，胞の個数をｃで表すと，

ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０

というオイラー・ポアンカレの定理が成り立つことになる．

　私はこれまで，ｎ角形はｎ辺形である，すなわち，

　　ｖ−ｅ＝０

を取り上げている数学書はみたことがない．ｎ角形はｎ辺形であるとはいっても，読者はオイラー・ポアンカレの定理のありがたみを実感し「なるほど立派な定理だ」と思うだろうか？　何だか当たり前のことを大袈裟にいっていると感じるであろう．実際，各辺の両端には頂点が１つずつあるから，この定理は自明なのであるが，それを３次元に拡張したとたんに自明ではなくなる．さらに，それを４次元以上に対しても敷衍していくことができるのである．

　（ちなみに，この問題は私が生まれて最初に自力で証明した定理である）．このような点はすでに初学者の域を脱した読者には間延びして感じられるかもしれないが，あえてこのようなことを書くのも，「現在では基本的または初等的とされる定理でも，それが発見されるまでには多くの試行錯誤があり，証明をするための努力があったはずだ．」ということを云いたいがためである．よく「日本人は水と安全はタダだと思っている」といわれるが，日常当たり前のように存在しているものは普段そのありがたみをを感じることはなく，失ってみて初めてその価値がわかるのである．

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