正多面体について第１の問題は何かと問われたならば，それは正多面体は何種類あるかという問題だろう．その答えが５種類になることはユークリッド原論に載っているが，その回答を与えたのが誰かは実はよくわかっていない．

　プラトンは紀元前３６０年の著作「ティマイオス」のなかで，５つの正多面体について述べている．プラトンはこれらの立体を発見したのは前の時代のピタゴラス派の数学者たちと述べているが，正多面体がこの５つで尽くされるという事実を紹介している．その結果これらの立体は「プラトンの立体」と呼ばれるようになった．

　オイラーの多面体公式のずっと前の時代のことであるから，ユークリッドの論法は次の通りである．

［１］正三角形を用いるならば，ひとつの頂点にそれを３個，４個，５個集めることができる（６個ならば平角になってしまう）．

［２］正方形を用いるならば，ひとつの頂点にそれを３個集めることができる（４個ならば平角になってしまう）．

［３］正五角形を用いるならば，ひとつの頂点にそれを３個集めることができる．

［４］正六角形を用いるならば３個で平角になってしまう（六角形より多くの辺をもつ正多角形を用いることはできない）．

　これら５つのケースがそれぞれ

［１］正四面体，正八面体，正二十面体

［２］立方体

［３］正十二面体

に対応しているため，ほかにはないといっているわけである．

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【１】シュレーフリ記号

　正ｐ角形をひとつの頂点にｑ個集まる正多面体を｛ｐ，ｑ｝で表す．

［１］正四面体，正八面体，正二十面体

［２］立方体

［３］正十二面体

は

［１］｛３，３｝，｛３，４｝，｛３，５｝

［２］｛４，３｝

［３］｛５，３｝

で表すことができる．これをシュレーフリ記号という．

　シュレーフリは，これを一般化してｎ−１次元の正多面体｛ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2｝が３次元低い構成要素上にｐn-1個ずつ会するようなｎ次元多胞体を｛ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2，ｐn-1｝で表した．たとえば，｛ｐ，ｑ，ｒ｝は｛ｐ．ｑ｝が辺の回りにｒ個ずつ集まってできる４次元正多胞体という意味である．

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【２】４次元正多胞体

　４次元以上の正多細体を初めて深く研究した数学者は，１９世紀，スイスのシュレーフリをいわれている．シュレーフリは結晶群の研究者でもあった．

　３次元正多面体の二面角δは

　｛３，３｝→ｃｏｓδ＝１／３　　（δ＝７０．５°）

　｛３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／３　　（δ＝１０９．５°）

　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／３　　（δ＝１３８．２°）

　｛４，３｝→ｃｏｓδ＝０　　（δ＝９０°）

　｛５，３｝→ｃｏｓδ＝−√５／５　　（δ＝１１６．６°）

である．

　３次元同様，４次元正多胞体の候補となるのは，二面角が１２０°未満であるあるから，

［１］｛３，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個，４個，５個集めることができる．→｛３，３，３｝，（３，３，４｝，｛３，３，５｝

［２］｛３，４｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる．→｛３，４，３｝

［３］｛４，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる．→｛４，３，３｝

［３］｛５，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる．→｛５，３，３｝

　４次元正多胞体は最大でも６つしかないことになる．

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【３】５次元正多胞体

　４次元正多胞体の二胞角δは

　｛３，３，３｝→ｃｏｓδ＝１／４　　（δ＝７５．５°）

　｛３，３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／２　　（δ＝１２０°）

　｛３，３，５｝→ｃｏｓδ＝−（１＋３√５）／８　　（δ＝１６４．５°）

　｛３，４，３｝→ｃｏｓδ＝−１／２　　（δ＝１２０°）

　｛４，３，３｝→ｃｏｓδ＝０　　（δ＝９０°）

　｛５，３，３｝→ｃｏｓδ＝−（１＋√５）／４　　（δ＝１４４°）

である．

　５次元正多胞体の候補となるのは，二胞角が１２０°未満であるあるから，

［１］｛３，３，３｝を用いるならば，ひとつの面にそれを３個，４個集めることができる．→｛３，３，３，３｝，（３，３，３，４｝

［２］｛４，３，３｝を用いるならば，ひとつの面にそれを３個集めることができる．→｛４，３，３｝

　５次元正多胞体は最大でも３つしかないことになる．

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【４】ｎ（≧５）次元正多胞体

　ｎ次元正多胞体の二胞角δは

　｛３，３，，・・，３｝→ｃｏｓδ＝１／ｎ　　（７５．５°＜δ＜９０°）

　｛３，３，，・・，４｝→ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ　　（１２０°＜δ＜１８０°）

　｛４，３，，・・，３｝→ｃｏｓδ＝０　　（δ＝９０°）

である．

　ｎ次元正多胞体の候補となるのは，二胞角が１２０°未満であるあるから，

［１］｛３，３，・・，３｝を用いるならば，ひとつのｎ−３次元面にそれを３個集めることができる．→｛３，３，・・，３，３｝，（３，３，・・，３３，４｝

［２］｛４，３，・・，３｝を用いるならば，ひとつのｎ−３次元面にそれを３個集めることができる．→｛４，３，・・３，３｝

　ｎ（≧５）次元正多胞体は最大でも３つしかないことになる．

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