(その229),(その230)を再考する.
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正単体切頂切稜型ペトリー多面体では,tp=0なので,
fn-1^(n)=hn-1^(n)+Σ(j=1~n-1)gj^(n)f(n-1-j)^(n-1ーj)
=g0^(n)f(n-1)^(n-1)+g1^(n)f(n-2)^(n-2)+・・・+gn-1^(n)f(0)^(0)
ここで,f(k)^(k)=1より,
fn-1^(n)=hn-1^(n)+Σ(j=1~n-1)gj^(n)f(n-1-j)^(n-1ーj)
=g0^(n)f(n-1)^(n-1)+g1^(n)f(n-2)^(n-2)+・・・+gn-1^(n)f(0)^(0)
=g0^(n)+g1^(n)+・・・+gn-1^(n)=2(2^n-1)
また,
fk=2(2^k+1-1)(n+1,k+2) (k=0~n-1)
より,
f0^(n)=(n+1)n
fn-1^(n)/f0^(n)=2(2^n-1)/(n+1)n
一方,頂点回りのファセットは
切頂面・・・頂点数f0^(n-1)=1・n=a
切稜面・・・頂点数f0^(n-2)・2=2(n-1)=b
2次元面・・・頂点数f0^(n-3)・3=3(n-2)=c
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
n-1次元面・・・頂点数f0^(0)・n=n・1
となる.・・・という書き方の左辺は正しくないが,右辺はあっている.すなわち,
切頂面・・・頂点数1・n=a
切稜面・・・頂点数2(n-1)=b
2次元面・・・頂点数3(n-2)=c
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
n-1次元面・・・頂点数n=n・1
abc・・・=(n!)^2
ここで,
fn-1^(n)/f0^(n)={x/a+y/b+z/c+・・・}
=(xbc・・+yac・・+zab・・)/abc・・
=(x/a+y/b+z/c+・・)=2(2^n-1)/(n+1)n
(x/a+y/b+z-c+・・)=2(2^n-1)/(n+1)n
ここで,
2(2^n-1)=Σ(n+1,k+1) k=0~n
に戻すと
x=(n+1,1)a/(n+1)n
y=(n+1,2)b/(n+1)n
z=(n+1,3)c/(n+1)n
w=(n+1,k+1)(k+1)(n-k-1)/(n+1)n
=(n+1)!/(k+1)!(n-k)!(k+1)(n-k-1)/(n+1)n
=(n-1)!/k!(n-k-1)!・(n-k-1)/(n-k)
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[まとめ]
(その212)において,正単体切頂切稜型のペトリー多面体の頂点に集まるn-k次元面は
(n-1,n-k)(1,1)^n-k
で計算できることがわかっている.
k=1とおくと
(n-1)!/k!(n-k-1)!
となるが,完全には一致していない.さらに再考を要す.
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