■置換多面体の空間充填性(その231)

 (その229),(その230)を再考する.

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 正単体切頂切稜型ペトリー多面体では,tp=0なので,

  fn-1^(n)=hn-1^(n)+Σ(j=1~n-1)gj^(n)f(n-1-j)^(n-1ーj)

=g0^(n)f(n-1)^(n-1)+g1^(n)f(n-2)^(n-2)+・・・+gn-1^(n)f(0)^(0)

 ここで,f(k)^(k)=1より,

  fn-1^(n)=hn-1^(n)+Σ(j=1~n-1)gj^(n)f(n-1-j)^(n-1ーj)

=g0^(n)f(n-1)^(n-1)+g1^(n)f(n-2)^(n-2)+・・・+gn-1^(n)f(0)^(0)

=g0^(n)+g1^(n)+・・・+gn-1^(n)=2(2^n-1)

 また,

  fk=2(2^k+1-1)(n+1,k+2)  (k=0~n-1)

より,

  f0^(n)=(n+1)n

  fn-1^(n)/f0^(n)=2(2^n-1)/(n+1)n

 一方,頂点回りのファセットは

  切頂面・・・頂点数f0^(n-1)=1・n=a

  切稜面・・・頂点数f0^(n-2)・2=2(n-1)=b

  2次元面・・・頂点数f0^(n-3)・3=3(n-2)=c

  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

  n-1次元面・・・頂点数f0^(0)・n=n・1

となる.・・・という書き方の左辺は正しくないが,右辺はあっている.すなわち,

  切頂面・・・頂点数1・n=a

  切稜面・・・頂点数2(n-1)=b

  2次元面・・・頂点数3(n-2)=c

  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

  n-1次元面・・・頂点数n=n・1

  abc・・・=(n!)^2

 ここで,

  fn-1^(n)/f0^(n)={x/a+y/b+z/c+・・・}

=(xbc・・+yac・・+zab・・)/abc・・

=(x/a+y/b+z/c+・・)=2(2^n-1)/(n+1)n

(x/a+y/b+z-c+・・)=2(2^n-1)/(n+1)n

 ここで,

  2(2^n-1)=Σ(n+1,k+1)  k=0~n

に戻すと

  x=(n+1,1)a/(n+1)n

  y=(n+1,2)b/(n+1)n

  z=(n+1,3)c/(n+1)n

  w=(n+1,k+1)(k+1)(n-k-1)/(n+1)n

=(n+1)!/(k+1)!(n-k)!(k+1)(n-k-1)/(n+1)n

=(n-1)!/k!(n-k-1)!・(n-k-1)/(n-k)

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[まとめ]

 (その212)において,正単体切頂切稜型のペトリー多面体の頂点に集まるn-k次元面は

  (n-1,n-k)(1,1)^n-k

で計算できることがわかっている.

 k=1とおくと

  (n-1)!/k!(n-k-1)!

となるが,完全には一致していない.さらに再考を要す.

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