円の接線極座標における方程式は
ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓθ＋ｂ1ｓｉｎθ
で与えられます．
ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ａ0
ですから定幅曲線で，その曲率半径はａ0／２となります．
ルーローの三角形は定幅曲線ですが，ルーローの三角形の平行曲線もまた定幅曲線です．それではルーローの三角形ではなく，デルトイドの平行曲線は定幅曲線になるでしょうか？
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【１】デルトイドの平行曲線
デルトイド
ξ＝ａ（２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ）＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ
η＝ａ（２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ）＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）
において，
ｄε／ｄθ＝−ａ（２ｓｉｎθ＋２ｓｉｎ２θ）＝−２ａｓｉｎθ（１＋２ｃｏｓθ）
ｄη／ｄθ＝ａ（２ｃｏｓθ−２ｃｏｓ２θ）＝２ａ（１−ｃｏｓθ）（１＋２ｃｏｓθ）
（ｄε／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2＝８ａ^2（１−ｃｏｓ３θ）＝８ａ^2（１＋２ｃｏｓθ）^2（１−ｃｏｓθ）＝１６ａ^2（１＋２ｃｏｓθ）^2ｓｉｎ^2（θ／２）
ですから，平行曲線は
ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ＋ｒｓｉｎ（θ／２）
ｙ＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）＋ｒｃｏｓ（θ／２）
および
ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ−ｒｓｉｎ（θ／２）
ｙ＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）−ｒｃｏｓ（θ／２）
のようになります．
ａ＝１，ｒ＝０．５〜２の範囲で図示すると，６つのカスプをもつ曲線が描かれます．６つの尖点はデルトイドの平行曲線の特異点です．
ａ＝１，ｒ＝５〜２０の範囲で図示すると，ｒ＝１０では特異点が解消されていることがわかります．これは定幅曲線となるのでしょうか？
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【２】接線極座標と内転形
計算の都合上，デルトイドの平行曲線の方程式を
ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ＋ｒｓｉｎ（θ／２）
ｙ＝−２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）−ｒｃｏｓ（θ／２）
とおいて
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）
に代入すると，包絡線の接線極座標における方程式は
ｐ（θ）＝２ａｓｉｎ２θ−ａｓｉｎθ＋ｒｃｏｓ（θ／２）
で与えられます．
ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）≠（一定）
ですから，デルトイドの平行曲線は定幅曲線ではありません．
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【３】訂正
［参］「東北大学数学教室の歴史」
には『フルヴィッツはフーリエ級数論を応用して「デルトイドの平行曲線が定幅曲線（平行な支持線間の距離が一定な卵形線）である」ことを証明した』という意味のことが書かれています．
それを受けて（信じて）
コラム「デルトイドの幾何学（その８・藤原と掛谷）」
コラム「デルトイドの幾何学（その９）」
などに引用したのですが，
「デルトイドの平行曲線は正方形の内転形である」
はどうやら間違いであって，
「アステロイドの平行曲線は正三角形の内転形である」
が正しいようです．
ともあれ，この論文から刺激をうけた藤原松三郎は，一般的な凸多角形の内転形をフーリエ級数論
ｐ（θ）＝ａ0／２＋Σ（ａkｃｏｓｋθ＋ｂkｓｉｎｋθ）
を応用して解析的に研究しました．
［１］同じ凸多角形のすべての内転形の周長は等しい
［２］正ｎ角形の内転形は少なくとも２（ｎ−１）個の頂点をもつ
などはその業績の一例です．
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【補】平行曲線
中心の軌跡が（ξ（θ），η（θ））でパラメータ表示される半径ｒの円
（ｘ−ξ（θ））^2＋（ｙ−η（θ））^2＝ｒ^2
ｙ＝η（θ）±｛ｒ^2−（ｘ−ξ（θ））^2｝^(1/2)
の一部がドリルの円弧であるとき，
∂ｙ／∂θ＝０ → （ｘ−ξ（θ））ｄξ／ｄθ＋（ｙ−η（θ））ｄη／ｄθ＝０
これより，包絡線の方程式は
ｘ＝ξ（θ）＋ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)
ｙ＝η（θ）−ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)
および
ｘ＝ξ（θ）−ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)
ｙ＝η（θ）＋ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)
とパラメータ表示されます．
これは中心の軌跡（ξ，η）と直交する方向（法線方向）にｒだけ離れた２点の軌跡です．すなわち，中心の軌跡の平行曲線を描くというわけです．
例をあげると，楕円：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１
のパラメータ表示
ξ＝ａｃｏｓθ，η＝ｂｓｉｎθ
については
ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
ｙ＝ｂｓｉｎθ＋ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
および
ｘ＝ａｃｏｓθ−ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
ｙ＝ｂｓｉｎθ−ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
のようになります．
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