ここでは，円と等積な正三角形を作図することを考えてみます．半径１の円の面積はπ，１辺の長さｘの正三角形の面積は√３／２ｘ^2ですから，２次方程式：√３／２ｘ^2−π＝０に帰着され，この問題も作図不能です．

　それではｎ次元単体とｎ次元超球ではどうでしょうか？　三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．すなわち，正単体の体積を求めるにあたって問題となるのはその高さなのですが，高さを求めるために，ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とします（稜の長さが√２の正単体）．

　これらの座標が与えられたとき，底面

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の重心は

　　（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

ですから，頂点

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

との距離（高さ）Ｈnは，

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）

で与えられることになります．

　したがって，漸化式

　　Ｖn＝Ｖn-1×Ｈn／ｎ

より，

　　Ｖn＝√（１＋ｎ）／ｎ！

を得ることができるのです．

　　Ｖ2＝√３／２，Ｖ3＝１／３，・・・

となりますが，Ｖ2，Ｖ3はピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができるでしょう．

　したがって，ｎ次方程式：√（１＋ｎ）／ｎ！ｘ^n＝π^(n/2)／Γ(n/2+1)に帰着されるだけで，事情は２次元の円積問題と変わりません．

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