藤原・掛谷の二角形やルーローの二角形は，正三角形に内接しながら回転することができる円以外の図形ですが，正三角形の内転形はそればかりではありません．今回のコラムでは，アステロイドの平行曲線が特異点をもたずに正三角形に内接しながら回転することができる図形であることを証明してみることにします．
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【１】平行曲線
中心の軌跡が（ξ（θ），η（θ））でパラメータ表示される半径ｒの円
（ｘ−ξ（θ））^2＋（ｙ−η（θ））^2＝ｒ^2
ｙ＝η（θ）±｛ｒ^2−（ｘ−ξ（θ））^2｝^(1/2)
の一部がドリルの円弧であるとき，
∂ｙ／∂θ＝０ → （ｘ−ξ（θ））ｄξ／ｄθ＋（ｙ−η（θ））ｄη／ｄθ＝０
これより，包絡線の方程式は
ｘ＝ξ（θ）＋ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)
ｙ＝η（θ）−ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)
および
ｘ＝ξ（θ）−ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)
ｙ＝η（θ）＋ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)
とパラメータ表示されます．
これは中心の軌跡（ξ，η）と直交する方向（法線方向）にｒだけ離れた２点の軌跡です．すなわち，中心の軌跡の平行曲線を描くというわけです．
例をあげると，楕円：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１
のパラメータ表示
ξ＝ａｃｏｓθ，η＝ｂｓｉｎθ
については
ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
ｙ＝ｂｓｉｎθ＋ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
および
ｘ＝ａｃｏｓθ−ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
ｙ＝ｂｓｉｎθ−ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
のようになります．
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【２】アステロイドの平行曲線
アステロイド：ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝ａ^2/3
のパラメータ表示
ξ＝ａｃｏｓ^3θ，η＝ａｓｉｎ^3θ
については
ｘ＝ａｃｏｓ^3θ＋ｒｓｉｎθ
ｙ＝ａｓｉｎ^3θ＋ｒｃｏｓθ
および
ｘ＝ａｃｏｓ^3θ−ｒｓｉｎθ
ｙ＝ａｓｉｎ^3θ−ｒｃｏｓθ
のようになります．
ａ＝１，ｒ＝０．５〜３の範囲で図示すると以下のようになります．ｒ＝０．５，ｒ＝１の場合は４つのカスプをもつ曲線が浮かび上がってきます．４つの尖点はアステロイドの平行曲線の特異点です．
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【３】接線極座標と内転形
卵形線上に原点をとり，曲線上の点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，
接線方向の単位ベクトル ： ｅ1＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）
それと直交する単位ベクトル： ｅ2＝（−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）
となります．
また，接線の方程式は
ｙ−ｙ0＝ｔａｎθ（ｘ−ｘ0）
（ｘ−ｘ0）ｓｉｎθ−（ｙ−ｙ0）ｃｏｓθ＝０
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｘ0ｓｉｎθ−ｙ0ｃｏｓθ＝ｐ（θ）
と表されます．このとき，右辺はベクトルＰＯと法線ベクトルの内積ですから，原点から接線までの距離は｜ｐ（θ）｜で与えられます．
すなわち，曲線上の点Ｐにおける接線に原点Ｏから引いた垂線の長さをｐ，接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）
と表されます．（ｐ，θ）を接線極座標といいます．
アステロイドの平行曲線の接線極座標は
ｘ＝ａｃｏｓ^3θ＋ｒｓｉｎθ
ｙ＝−ａｓｉｎ^3θ−ｒｃｏｓθ
を代入して
ｐ（θ）＝ａｓｉｎ２θ／２＋ｒ
で与えられます．
ここで，ω＝２π／３とおくと，
ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝３ｒ＝ｈ（一定）
ですから，内転形であるための条件を満たします．
また，その曲率半径は
ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）
＝ａｓｉｎ２θ／２＋ｒ−２ａｓｉｎ２θ＝ｒ−３／２ａｓｉｎ２θ≧０
より，ｒ≧３／２ａに対し，アステロイドの平行曲線
ｘ＝ａｃｏｓ^3θ＋ｒｓｉｎθ
ｙ＝−ａｓｉｎ^3θ−ｒｃｏｓθ
は特異点をもたずに高さｈ＝３ｒの正三角形に内接しながら回転することができる図形であることがわかります．
ａ＝１，ｒ＝３の場合を図示すると
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【４】代数曲線としての次数
アステロイドの平行曲線
ｘ＝３ｓｉｎθ＋ｃｏｓ^3θ
ｙ＝−３ｃｏｓθ−ｓｉｎ^3θ
において，ｃｏｓ^3θ，ｓｉｎ^3θはｃｏｓ３θ，ｓｉｎ３θで表されますから，６次曲線となることが予測されます．ここでは，アステロイドの平行曲線の代数曲線としての次数を求めてみます．
この曲線は直線ｙ＝±ｘに関する裏返しに関して対称ですから，
ｆ（ｘ＋ｙ，（ｘ−ｙ）^2）
ｆ（ｘ−ｙ，（ｘ＋ｙ）^2）
の多項式の形に表すことができます．また，（ｘ＋ｙ）^2＝ｘ^2＋ｙ^2＋２ｘｙ，（ｘ−ｙ）^2＝ｘ^2＋ｙ^2−２ｘｙとなって，ｘ^2＋ｙ^2，ｘｙの多項式の形
ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘｙ）
に表すこともできます．すなわち，
Ｄ2：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2）
のｘ^2（あるいはｙ^2）の代わりがｘｙということになります．
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−３（ｓｉｎθｃｏｓθ）^2＋６ｓｉｎθｃｏｓθ＋１０・・・(1)
Ｄ2：−ｘｙ＝（ｓｉｎθｃｏｓθ）^3−６（ｓｉｎθｃｏｓθ）^2＋９ｓｉｎθｃｏｓθ＋３・・・(2)
(1)→（ｓｉｎθｃｏｓθ−１）^2＝−（ｘ^2＋ｙ^2−１３）／３
(2)→−ｘｙ−３＝ｓｉｎθｃｏｓθ（ｓｉｎθｃｏｓθ−３）^2＝（ｓｉｎθｃｏｓθ−１）^3−３（ｓｉｎθｃｏｓθ−１）^2＋４
Ｄ0はｓｉｎθｃｏｓθ＝ｓｉｎ２θ／２の２次式，Ｄ2は３次式です．
(2)より
−ｘｙ−７＝（ｓｉｎθｃｏｓθ−１）^2（ｓｉｎθｃｏｓθ−１−３）
ですから，(1)を代入すると
（ｘ^2＋ｙ^2−１３）^3＋２７（ｘ^2＋ｙ^2＋ｘｙ−６）^2＝０
となって，実際に６次式で表すことができました．
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