【１】弱理想グラフ定理から強理想グラフ定理へ

　ベルジェ（Berge）は理想グラフの研究の初期に２つの予想を定式化した．

［１］グラフが理想グラフであるときに限り，補グラフは理想グラフである（弱理想グラフ予想）．

［２］グラフが理想グラフであるときに限り，グラフもその補グラフも長さが５以上の奇数サイクルを含まない（強理想グラフ予想）．

［１］は任意の理想グラフの補グラフも理想グラフであることを述べたもので，１９７２年ロヴァース（Lovasz）によって肯定的に証明された．

　当時多くの学者がこの証明に挑戦していたが，なかでもファルカーソンはこれが成り立たないと考えてアプローチしていたために証明に失敗した．彼はロヴァースによって肯定的に証明されたことを知るや否や，直ちにその証明ができたと伝えられている．

　ファルカーソンはその数年後（１９７６年），失意のうちにこの世を去ったが，研究の厳しさを教えられるはなしである．

［２］が証明されたのはずっと後のことで，２００２年にチュドノフスキー，シーモア，ロバートソン，トーマスの４人のよって解決された．なかでもマリア・チュドノフスキーは若くてきれいな女性だったこともあり，かなり注目を集めたとのことである．

　グラフ理論における最近の大きな成果であるが，与えられたグラフが理想グラフであるかどうかを判定する多項式時間アルゴリズムもチュドノフスキーらによって設計開発されている．

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【２】弱ゴールドバッハ予想から強ゴールドバッハ予想へ

　１７４２年に提示されたゴールドバッハ予想は，オイラーをはじめとする最高の頭脳をもつ数学者達をを煙に巻いてきた．ゴールドバッハ予想は２つの異なる予想に分けられる．

［１］偶数ゴールドバッハ予想（強ゴールドバッハ予想）

　　２より大きいすべての偶数は２つの素数の和である．

［２］奇数ゴールドバッハ予想（弱ゴールドバッハ予想）

　　５より大きいすべての奇数は３つの奇素数（２以外の素数）の和である．

　［１］から［２］が導き出せるが，［２］→［１］は成り立たない．偶数ゴールドバッハ予想に関して，陳景潤は１９７３年に，十分大きな偶数は２つの素数の和で表せるか，素数と半素数（２つの素数の積）の和で表せるかのいずれかであることを証明した．強弱どちらの予想もいまだ解決されていない．

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