ｎ次元立方体・正軸体は正２ｎ角形，正単体は正ｎ＋１角形に投影される．３次元立方体・正軸体・正単体の場合はそれぞれ正６角形，正６角形，正四角形になる．４次元立方体・正軸体・正単体の場合はそれぞれ正８角形，正８角形，正五角形になる．

　正軸体の頂点数は２ｎ，正単体の頂点数はｎ＋１であるから，すべての頂点は円周上に配置されるが，超立方体の頂点数は２^nであるから，２^n−２ｎ個の頂点は円の内部に投影されることになる．（その１）で説明したＥ8リー群から得られる頂点数２４０，辺数６７２０の図形でも，頂点は円周上と円の内部に投影される．

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［１］ｎ次元正軸体

　ｎ次元正軸体を２次元平面上に複数の頂点がなるべく重ならないように座標軸をとる．各頂点からは２（ｎ−１）本の稜，すなわち，ｎ＝３では４本，ｎ＝６では１０本の稜がでる．その際，中心を通るもの以外のすべての対角線を入れればよいから，ｎのパリティ−に関わらず，中止部に穴が開くことになる．

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［２］ｎ次元正単体

　ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフとみなすことができるので，正ｎ＋１角形にすべての対角線を引くことと同じである．したがって，ｎが奇数のときは中心では必ず対角線が交わるので穴は開かない．ｎが偶数のとき穴は開くが，ｎが大きくなると，穴はどんどん小さくなるのである．

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［３］ｎ次元立方体

　０次元の点がまっすぐ動くと１次元の線分になる．１次元の線分が平面の上で自分と直角の方向に同じ長さだけ動くと，２次元の正方形になる．２次元の正方形が３次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，３次元の立方体となる．この３次元立方体が４次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，同じ大きさの８個の立方体からなる４次元の立方体（正８胞体）になる・・・．

　こうしてｎ次元立方体ができあがるが，ｎ次元立方体（正２ｎ胞体）を２次元平面上へ正２ｎ角形を外殻とするように直投影することができる．すなわち，正方形（２次元立方体）を平面に投影すると正方形，３次元立方体を投影すると正六角形，４次元立方体を投影すると正八角形になる．

　３次元立方体の８つの頂点を第４の方向に１単位だけ平行移動することにより，４次元立方体の３次元投影図を描くことができるからである．一般に，ｎ次元立方体の投影図は正２ｎ角形となることがおわかり頂けるであろう．

　次に，投影図形の中央に穴が開くかどうかに注目してみよう．正方形（２次元立方体）を平面に投影した場合は穴が開く．３次元立方体の平面投影図は三角形が６つ合わさった形になり，穴は開かない．４次元立方体の平面投影図には穴が開く．

　これについては，ｎが２のベキ（ｎ＝２，４，８，１６，・・・）のとき，中止部に穴が開く．その理由が知りたいところである．次回の宿題としたい．

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