ｍｏｄ３，ｍｏｄ５，（ｍｏｄ７）で考えるだけでもかなりのことがわかる．たとえば，・・・

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［１］双子素数（ｐ，ｐ＋２）について，ｍｏｄ３，ｍｏｄ５で考えた結果，ｐは３０ｎ＋１１型素数または３０ｎ＋１７型素数または３０ｎ＋２９型素数でなければならないことがわかる．

［２］三つ子素数（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６）について，ｍｏｄ３，ｍｏｄ５で考えた結果，ｐは３０ｎ＋１１型素数あるいは３０ｎ＋１７型素数でなければならないことがわかる．

［３］三つ子素数（ｐ，ｐ＋４，ｐ＋６）について，ｍｏｄ３，ｍｏｄ５で考えた結果，ｐは３０ｎ＋７型素数あるいは３０ｎ＋１３型素数でなければならないことがわかる．

［４］四つ子素数（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６，ｐ＋８）について，ｍｏｄ３，ｍｏｄ５で考えた結果，ｐは３０ｎ＋１１型素数でなければならないことがわかっている．

［５］六つ子素数（ｐ−１０，ｐ−６，ｐ−４，ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６）について，ｍｏｄ３，ｍｏｄ５，ｍｏｄ７で考えた結果，ｐは２１０ｎ＋１０７型素数でなければならないことがわかっている．

　昨年の５月にニューハンプシャー大学の数学者によって，差が７千万以下の異なる素数の組が無限個存在するという報告がなされたそうである．「７千万」を「２」に変更できれば双子素数予想の解決になるというわけであるが，画期的な報告はいってもまだまだ遠い・・・．

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