丸くない車輪，たとえば，ルーローの三角形でも中心位置は上下にブレて高さは一定には保たれません．（その１）では，２次曲線（楕円・放物線・双曲線）が基線上を転がるときに，焦点の描く軌跡がそれぞれアンデュラリー・カテナリー・ノーダリーと呼ばれる曲線になることを紹介しました．

　　楕円　　　→　アンデュラリー

　　放物線　　→　カテナリー（懸垂線）

　　双曲線　　→　ノーダリー

　そして，逆問題，ある曲線に付帯する定点（焦点）が直線を描く場合，その基線となる曲線を求めてみて，車輪の形が楕円で道の形が三角関数のとき，楕円の焦点は直線を描くことを確かめました．

　それでは，車輪の形が放物線・双曲線のとき，焦点が直線を描く道の形は？というのが今回のコラムのテーマです．結論を先にいうと

　　楕円　　→　三角関数

　　放物線　→　放物線

　　双曲線　→　懸垂線

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【１】順問題

　２次曲線を極座標表示を用いて

　　ｒ＝ｌ／（１＋ｅｃｏｓθ）

と定義します（ｅ：離心率，ｌ：最近接点距離）．その方が曲線の転がりを簡単に表せるからです．

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ

ですから，２次曲線上の点Ｐにおける接ベクトルは，（’＝ｄ／ｄθ）として

　　ｘ’＝ｒ’ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ

　　ｙ’＝ｒ’ｓｉｎθ＋ｒｃｏｓθ

したがって，

　　ｘ’＝−ｌｓｉｎθ／（１＋ｅｃｏｓθ）^2

　　ｙ’＝ｌ（ｅ＋ｃｏｓθ）／（１＋ｅｃｏｓθ）^2

となります．

　次に，ベクトルＯＰ↑＝（ｘ，ｙ）と接ベクトル（ｘ’，ｙ’）のなす角をφを求めてみます．内積は

　　ｘｘ’＋ｙｙ’＝−ｌ^2ｅｓｉｎθ／（１＋ｅｃｏｓθ）^3

ですから，ノルムの積で割ってやると

　　ｃｏｓφ＝−ｅｓｉｎθ／（１＋２ｅｃｏｓθ＋ｅ^2）^(1/2)

　　ｓｉｎφ＝（１＋ｅｃｏｓθ）／（１＋２ｅｃｏｓθ＋ｅ^2）^(1/2)

が得られます．

　また，周長は

　　ｓ（θ）＝∫(0,θ){r^2+(dr/dθ)^2}^(1/2)ｄθ

＝∫(0,θ)ｌ（１＋２ｅｃｏｓθ＋ｅ^2）^(1/2)／（１＋ｅｃｏｓθ）^2ｄθ

となります．

　したがって，焦点の座標（ｘ，ｙ）は

　　ｘ（θ）＝ｓ（θ）＋ｒ（θ）ｃｏｓφ（θ）

　　ｙ（θ）＝ｒ（θ）ｓｉｎφ（θ）

となることがわかります．

　楕円の場合，中心角ψ，長径ａ，短径ｂを用いて，

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ＝ａｃｏｓψ−（ａ^2−ｂ^2）^(1/2)

　　ｙ＝ｒｓｉｎθ＝ｂｓｉｎψ

でパラメトライズできますから，周長ｓ（θ）は第２種楕円積分を変数変換したものになりますが，簡単な形には表せません．放物線・双曲線でも同様です．

　そのため，

　　ｘ（θ）＝ｓ（θ）＋ｒ（θ）ｃｏｓφ（θ）

　　ｙ（θ）＝ｒ（θ）ｓｉｎφ（θ）

のままにしておきますが，この曲線は離心率ｅの値によって，

　　楕円（０≦ｅ＜１）　→　アンデュラリー

　　放物線（ｅ＝１）　　→　カテナリー（懸垂線）

　　双曲線（ｅ＞１）　　→　ノーダリー

と呼ばれます．

　ｅを変化させると，楕円→放物線→双曲線となるのに応じて，焦点の描く軌跡はアンデュラリー→カテナリー→ノーダリーへと連続的に変化します．

　ｅ＝１のとき，孤長パラメータをｓとすると，

　　ｘ＝∫(0,s)c/{c^2+t)^2)^(1/2)dt＝clog((s+(c^2+s^2)^(1/2))/c)

　　ｙ＝(c^2+s^2)^(1/2)

２つの式からｓを消去すると

　　ｙ／ｃ＝ｃｏｓｈ（ｘ／ｃ）

となり，

　　ｙ＝ｃｏｓｈ（ｘ）

を相似変換したものであることがわかります．

　これは懸垂線（カテナリー）で，伸び縮みしないひもの両端を固定しぶら下げてできる曲線です．懸垂線はちょっとみると放物線ではないかと思われがちですが，放物線よりもずっときつく上昇する曲線です．

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【２】逆問題

　タイヤが歪んでいるとき，平らな道の上を滑らかに転がることができません．しかし，逆に考えると，歪んだタイヤでも凸凹具合によっては滑らかに転がることができる道があるはずです．そこで，ここでは，ある曲線に付帯する定点（回転軸）が水平線を描く場合の基線となる曲線を求めることにします．

　車輪の曲線を極座標表示してｒ＝ｒ（θ），道の曲線をｙ＝ｙ（ｘ）とします．その際，直交座標上での曲線の長さは

　　ｌ（ｘ）＝∫(0,x){1+(dy/dx)^2}^(1/2)dx

また，極座標上における曲線の長さは，前述したように，

　　ｓ（θ）＝∫(0,θ(x)){r^2+(dr/dθ)^2}^(1/2)ｄθ

で与えられます．

　車輪が滑らずに転がることから，ｌ（ｘ）＝ｓ（θ）

この両辺をｘで微分して，２乗すると

　　1+(dy/dx)^2={r^2+(dr/dθ)^2}(dθ/dx)^2

　また，道の深さと車輪の動径が等しいことより

　　ｒ（θ(x)）＝−ｙ（ｘ）

これを微分すると

　　dr/dθ･dθ/dx=-dy/dx

前式にこれを代入して

　　ｄθ／ｄｘ＝−１／ｙ（ｘ）

が得られます．

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［１］楕円の場合（コサインの道）

　逆に，道の定義ｙ＝ｙ（ｘ）が与えられているときは，微分方程式

　　ｄθ／ｄｘ＝−１／ｙ（ｘ）

を初期条件：θ(0)＝-π/2の下に解くことになります．

　　θ(x)＝-∫(0,x)1/y(u)du-π/2

　道の曲線が関数：ｙ＝ｃｏｓ（ｘ）−√２で与えられている場合の車輪の形を求めてみましょう．

　　θ(x)＝-∫(0,x)1/y(u)du-π/2

より，

　　θ＝ａｒｃｔａｎ（（√２＋１）ｔａｎ（ｘ／２））−π／２

したがって，

　　ｔａｎ（ｘ／２）＝（√２−１）ｔａｎ（１／２（θ＋π／２））

　あとは，変数変換によって，

　　ｃｏｓ（ｘ）＝（１−√２ｓｉｎθ）／（√２−ｓｉｎθ）

これより，極座標表示された車輪の曲線の式は

　　ｒ＝−ｙ＝√２−ｃｏｓθ＝１／（√２−ｓｉｎθ）

となり，楕円を表すことがわかります．

　実際，ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθを代入すると，

　　√２ｒ−ｒｓｉｎθ＝√２ｒ−ｙ＝１

　　√２ｒ＝ｙ＋１，ｒ＝（ｘ^2＋ｙ^2）^(1/2)

より，楕円

　　ｘ^2＋（ｙ−１）^2／２＝１

が得られますが，この場合も順問題の答がアンデュロイドだったのに対して，逆問題の答は三角関数になるというわけです．

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［２］接線座標

　曲線上の点Ｐにおける接線とｘ軸とのなす角度をσ，ＯＰ＝ｒとすると，曲線（ｘ，ｙ）は接線座標（ｒ，σ）でパラメトライズされることがわかります．焦点Ｆを原点とする接線方程式をｒ＝ｆ（σ），基線となる曲線を（ｘ，ｙ）とすると

　　ｙ＝ｆ（π／２−τ），τ＝ａｒｃｔａｎ（ｄｙ／ｄｘ）

　　ｄｙ／ｄｘ＝ｔａｎτ

　　ｄｘ／（ｄｘ^2＋ｄｙ^2）^1/2＝ｃｏｓτ

　　ｄｙ／（ｄｘ^2＋ｄｙ^2）^1/2＝ｓｉｎτ

これを積分すれば所要の曲線が得られます．

　焦点を原点とする楕円の接線方程式は

　　ｒ（２ａ−ｒ）ｓｉｎ^2σ＝ｂ^2

したがって，微分方程式

　　ｙ（２ａ−ｙ）＝ｂ^2／ｃｏｓ^2σ＝ｂ^2（１＋（ｄｙ／ｄｘ）^2）

を解いて

　　ｙ−ａ＝ｃｓｉｎ（ｘ／ａ）・・・三角関数

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［３］放物線の場合

　接線方程式は

　　ｒｓｉｎ^2σ＝ａ

微分方程式

　　ｙｃｏｓ^2σ＝ａ，すなわち，ｙ＝ａ（１＋（ｄｙ／ｄｘ）^2）

を解いて

　　ｘ^2＝４ａ（ｙ−ａ）・・・放物線

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［４］双曲線の場合

　接線方程式は

　　ｒ（２ａ＋ｒ）ｓｉｎ^2σ＝ｂ^2

微分方程式

　　ｙ（２ａ＋ｙ）＝ｂ^2／ｃｏｓ^2σ＝ｂ^2（１＋（ｄｙ／ｄｘ）^2）

を解いて

　　ｙ＋ａ＝ｃ／２（ｅｘｐ（ｘ／ｂ）＋ｅｘｐ（−ｘ／ｂ））・・・懸垂線

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［５］接線極座標

　曲線上の点Ｐにおける接線に原点Ｏから引いた垂線の長さをｐ，接線とｘ軸とのなす角度をφとすると，

　　ｘｓｉｎφ−ｙｃｏｓφ＝ｐ（φ）

と表されます．（ｐ，φ）を接線極座標といいます．

　接線座標（ｒ，σ）との関係は

　　ｐ＝−ｒｃｏｓσ，ｄｐ／ｄφ＝ｒｓｉｎσ

　　ｒ＝（ｐ^2（φ）＋ｐ’^2（φ））^1/2，σ＝ａｒｃｔａｎｐ／ｐ’

から得られます．

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［参］高桑昇一郎「微分方程式と変分法」共立出版

［参］窪田忠彦「歯車の幾何学」河出書房