ω＝２∫(0,1)ｄｔ／（１－ｔ^4）^1/2

とおく．ｓｌ（ω／２）＝１

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【１】倍角公式

　たとえば，

　　ｓｌ（ω／２－ｕ）＝ｓｌ’（ｕ）／（１＋ｓｌ^4（ｕ））

において，ｕ＝ω／４とおくと，ｒ＝ｓｌ（ω／４）は

　　ｒ＝（１－ｒ^4）^1/2／（１＋ｒ^4）

　　（ｒ^2＋１）（ｒ^4＋２ｒ^2－１）＝０

を満たす．

　　ｒ＝±（√２－１）^1/2

　３倍角の公式

　　ｓｌ（３ｕ）＝ｓｌ（ｕ）（３－６ｓｌ^4（ｕ）－ｓｌ^8（ｕ））／（１＋６ｓｌ^4（ｕ）－３ｓｌ^8（ｕ））

　ｕ＝２ω／３とおくと，ｓｌ（３ｕ）＝０であるから，

　　３－６ｓｌ^4（ｕ）－ｓｌ^8（ｕ）＝０

を満たす．この方程式の実根は

　　ｓｌ（ｕ）＝（２√３－３）^1/4

である．

　一般に

［１］ｎが奇数のとき

　　ｓｌ（ｎｕ）＝ｓｌ（ｕ）Ｐn（ｓｌ^4（ｕ））／Ｑn（ｓｌ^4（ｕ））

　　Ｑn+1（ｘ）＝Ｑn-1（ｘ）｛Ｑn（ｘ）^2＋ｘＰn（ｘ）^2｝

　　Ｐn+1（ｘ）＝２Ｐn（ｘ）Ｑn（ｘ）Ｑn-1（ｘ）－Ｐn-1（ｘ）｛Ｑn（ｘ）^2＋ｘＰn（ｘ）^2｝

［２］ｎが偶数のとき

　　ｓｌ（ｎｕ）＝ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｕ）Ｐn（ｓｌ^4（ｕ））／Ｑn（ｓｌ^4（ｕ））

　　Ｑn+1（ｘ）＝Ｑn-1（ｘ）｛Ｑn（ｘ）^2＋ｘ（１－ｘ）Ｐn（ｘ）^2｝

　　Ｐn+1（ｘ）＝２（１－ｘ）Ｐn（ｘ）Ｑn（ｘ）Ｑn-1（ｘ）－Ｐn-1（ｘ）｛Ｑn（ｘ）^2＋ｘ（１－ｘ）Ｐn（ｘ）^2｝

　さらに，Ｑn（０）＝１が成り立つ．

　これより，

　　Ｐ3（ｘ）＝３－６ｘ－ｘ^2

　　Ｐ4（ｘ）＝４（１＋ｘ）（１－６ｘ＋ｘ^2）

　　Ｐ5（ｘ）＝（５－２ｘ＋ｘ^2）（１－１２ｘ－２６ｘ^2＋５２ｘ^3＋ｘ^4）

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【２】レムニスケートサインとワイエルシュトラスのペー関数の関係

　　ｓｌ（ｚ）＝－２ｐ1（ｚ）／ｐ1’（ｚ）

　　ｓｌ’（ｚ）＝（４ｐ1（ｚ）^2－１）／（４ｐ1（ｚ）^2＋１）

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