４ｎ＋１型素数，４ｎ＋３型素数

　　５ｎ＋１型素数，５ｎ＋２型素数，５ｎ＋３型素数，５ｎ＋４型素数

もっと一般に，１次式

　　ａｘ＋ｂ型素数

は無限の存在することがわかっています（ディリクレの算術級数定理）．

　２次式，たとえば，

　　ｎ^2＋１型素数，ｎ^2＋２型素数

は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　指数式，たとえば，　

　　２^n＋１型素数（フェルマー素数），２^n＋３型素数，２^n−１型素数（メルセンヌ素数）

も無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　その差が２であるような素数のペア（ｐ，ｐ＋２）を双子素数と呼びます．小さな双子素数には（３，５），（５，７），（１１，１３），（１７，１９），・・・など，ちょっと大きなものでは（２２２７１，２２２７３），・・・などがあります．双子素数が無限に多く存在するかどうかは今のところわかっていません．

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋４）がともに素数となることは，どれかが必ず３で割れてしまうので（３，５，７）以外にはあり得ません．そこで，

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６）がともに素数となるとき，三つ子素数

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６，ｐ＋８）がともに素数となるとき，四つ子素数

と呼ぶことにします．これらも無数に存在する（素数の星座）と予想されていますが，証明はわかっていません．

　シンツェル仮説とは，それらをまとめて拡張した予想です．

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【１】シンツェル仮説（シンツェル予想）

　シンツェル仮説とは，以下の問題を含み，それらをまとめて拡張した予想です．

［１］双子素数（ｎ，ｎ＋２）は無限個存在する

［２］ｎ^2＋１型素数は無限個存在する

［３］ａｎ＋ｂ型素数は無限個存在する（算術級数の素数定理，ディリクレ，１８３７年）

［４１三つ子素数（ｎ，ｎ＋２，ｎ＋６）は無限個存在する

［５］ｎ^2＋４型素数は無限個存在する

［６］２^n−１型素数，２^n＋１型素数は無限個存在する

［７］４以上のどんな偶数も必ず２個の素数の和として表される（ゴールドバッハ予想）

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