２００７年４月１５日，オイラー生誕３００年を迎えました．オイラーの仕事のひとつに素数生成式があります．その値の多くが素数となる式で，

(1)オイラーの２次式：ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１

はｘ＝０〜３９に対して素数を与えます．

　他にも素数をよく生成する式が昔から知られていて

(2)ルビーの２次式：ｆ（ｘ）＝｜３６ｘ^2−８１０ｘ＋２７５３｜　　（ｘ＝０〜４４）

(3)フロベニウスの２次式：ｆ（ｘ）＝２ｘ^2＋２ｘ＋１９

(4)４ｘ^2＋１７０ｘ＋１８４７

(5)４ｘ^2＋４ｘ＋５９

などがあげられます．

　ところで，素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

はｘを超えない素数の個数π（ｘ）を与える近似的な公式であって，ｘに近い２つの連続した素数間の平均距離はおよそｌｏｇｘ，あるいは，ランダムにとった整数ｘが素数である確率がおよそ１／ｌｏｇｘだといってもよいでしょうし，また，ｎ番目の素数ｐnについての漸近評価

　　ｐn〜ｎｌｏｇｎ

とも等価です．これをもっと精密に評価すると

　　ｐn＝ｎ（ｌｏｇｎ＋ｌｏｇｌｏｇｎ−１）＋ｏ（ｎｌｏｇｌｏｇｎ／ｌｏｇｎ）

になります．

　ｐnを上下から評価する不等式は比較的精密なものが知られていますが，ｐnを表す式（関数）については本質的に良い結果は得られていないようです．今回のコラムでは，京都府在住の藤本実さんに教えて頂いたｎ番目の素数ｐnに関する定理を氏の許可を得て掲載することにします．

　　［参］数学セミナー，３７５，２５（１９７３），日本評論社

　　［参］http://arxiv.org/PS_cache/math-path/pdf/0609/0609013.pdf

　　［参］http://arxiv.org/PS_cache/math-path/pdf/0702/0702011.pdf

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【１】藤本の定理

　『素数を表す漸化式

　　ｐn＝［｛ｌｏｇζ（ａn）＋Σ(r=1~n-1)ｌｏｇ（１−ｐr^-an）｝^-1/an］＋１

が成立する．ここで，ｐrはｒ番目の素数，ζ(s)はリーマンのゼータ関数，［・］はガウス記号，また，ａnはａn≧ｐnを満たす任意の定数で，たとえば，２^2n，２^n，ｎ（ｎ−１）／２などをとることができる．』

（ａnはｎｌｏｇ（ｎｌｏｇｎ）（ｎ≧６）より小さくできない．）

　この定理は（すべての素数でなく）ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-1だけからｐnを定める式を与えている．その際，オイラーの積表示

　　ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

をうまく利用していることは，このコラムをご覧の方であれば容易に理解できるであろう．藤本の漸化式は素数をゼータ関数そのものの値で表す式といってもよい．

　証明は難しくはなく，

　　１／（ｐn−１）^an≧｛ｌｏｇζ（ａn）＋Σ(r=1~n-1)ｌｏｇ（１−ｐr^-an）＞１／ｐn^an

が成立することを示せばよいのだが，それについては

　　［参］http://arxiv.org/PS_cache/math-path/pdf/0609/0609013.pdf

に譲ることにする．

　早速簡単な検証に移るが，ｎ＝１のとき，ａ1＝２とすると

　　ζ（ａ1）＝ζ（２）＝π^2／６

　　ｐ1＝［｛ｌｏｇζ（２）｝^-1/2］＋１＝２

が容易に確かめられる．

　なお，ｓ→∞のとき，

　　ｐn＝｛ｌｏｇζ(s)＋Σ(r=1~n-1)ｌｏｇ（１−ｐr^-s）｝^-1/s

とガウス記号を用いずに書くことができる．

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［補］ａn＝２ｍとすれば

　　ζ（ａn）＝ζ（２ｍ）＝２^(2m-1)Ｂm／（２ｍ）！・π^2m

Ｂmはベルヌーイ数で，ζ（２ｍ）はπ^2mの有理数倍になることがわかっている．ζ（３）は無理数になることが１９７８年になってようやく証明された．その他のζ（２ｋ＋１）については，ζ（５），ζ（７），・・・，ζ（１７），ζ（１９）の８つの特殊値のうち，ひとつは無理数であることが２００１年に証明されたという．

　ベルヌーイ数が整数論にとって欠かすことができない存在なのは，ゼータ関数との関係にその理由があり，リーマンのゼータ関数

　　ζ(s)＝Σ１／ｎ^s＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

とベルヌーイ数との間には，次の公式が成り立ちます．

　　Π１／（１−ｐ^(-2m)）＝ζ(2m)＝Ｂm／２・（２π）^(2m)／（２ｍ）！

　ベルヌーイ数は

　　ｘ／ｔａｎｈｘ＝ｘｃｏｓｈｘ／ｓｉｎｈｘ

＝１＋Ｂ1／２！（２ｘ）^2−Ｂ2／４！（２ｘ）^4＋Ｂ6／２！（２ｘ）^6−・・・

　あるいは，ｘ／ｔａｎｈｘ＝２ｘ／（ｅｘｐ(2x)−１）＋ｘより，

　　ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）＝１−１／２ｘ＋Ｂ1／２！ｘ^2−Ｂ2／４！ｘ^4＋Ｂ3／６！ｘ^6−・・・

の係数として得られます（生成関数）．

［補］４ｎ＋１型素数の漸化式および対応するゼータ関数の値を求める方法

ａn＝４ｍとすれば

　　ζ（ａn）＝ζ（４ｍ）＝（２ω）^4m／（４ｍ）！・Ｈ4m

Ｈmはフルヴィッツ数，ωはレムニスケート周率です．

　　　ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx＝1/2Ｂ(1/4,1/2)

　　　　＝2^(-3/2)π^(-1/2)Γ^2(1/4)=2.62205･･･

レムニスケートの定数ωは円に対するπと同じ役割を演じています．

　　π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159･･･（円周率）

　　ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205･･･（レムニスケート周率）

　　ｔａｎｘ＝Σ(-1)^(n-1)２^2n（２^2n−１）Ｂ2nｘ^(2n-1)／（２ｎ）！

の展開式は，ベルヌーイ数の別の形の母関数表示を与えています．すなわち，三角関数の展開公式にもベルヌーイ数がでてくるのですが，

　　1/sin^2(x)=1/x^2+Σ(-1)^(n/2-1)2^nＢn／ｎ・ｘ^(n-2)／（ｎ−２）！

三角関数（円関数）を楕円関数に置き換えても，展開係数はベルヌーイ数と似たような数論的性質をもってくることが予想されます．

　このような考え方は三角関数についての現象を一般化するときの常套手段となっているのですが，その展開係数がフルヴィッツ数Ｈnです．三角関数の場合のベルヌーイ数

　　1/sin^2(x)=1/x^2+Σ(-1)^(n/2-1)2^nＢn／ｎ・ｘ^(n-2)／（ｎ−２）！

と対比させると，フルヴィッツ数はワイエルシュトラスの楕円関数のローラン展開

　　ｐ(z)=1/z^2+Σ2^nＨn／ｎ・ｚ^(n-2)／（ｎ−２）！

で定義されます．

　　H4=1/10,H8=3/10,H12=567/130,H16=43659/170,H20=392931/10,

H24=1724574159/130,･･･

［補］ベルヌーイ数を（二重級数でなく）単級数で表わすと

　　Ｂn＝（１＋［２（２^2n−１）（２ｎ）！／２^2n-1π^2n・Σ(m=1~3n)ｍ^ｰ2n］）／２（２^2n−１）　　　（Chowla,1972）

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【２】雑感

　藤本の定理を使えば，たとえばａn＝２^nなり２ｎ^2として素数列｛ｐn｝が逐次計算されます．もっともこれは原理的な可能性であって，ｎが大きくなるとｐnの計算は急速に煩雑さを増していくのですが，藤本の定理の応用としてすぐ思いつくのはベルトランの仮説の別証やルジャンドルの予想，双子素数予想を攻略するひとつの方法を与えてくれるのではないかということです．以下にベルトランの仮説，ルジャンドルの予想，双子素数予想を説明しますが，我こそはと思わん方は是非挑戦してみてください．

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　１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．５０年以上たって，ロシアの数学者チェビシェフがこれを証明しました．チェビシェフはもっと狭い範囲の中にも必ず素数が存在することを証明したのですが，１９１１年，イタリアの数学者ボノリスはｎと３ｎ／２の間にある素数の個数の近似式を導きました．

　また，ルジャンドルの予想

　　「ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間に常に素数が存在する」

は未解決であって，リーマン予想：リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の実部が０と１の間にあり，零点の実部ははすべて１／２であるという仮説と同値な命題として知られています．

　一方，その差が２であるような素数のペア（ｐ，ｐ＋２）を双子素数と呼びます．小さな双子素数には（３，５），（５，７），（１１，１３），（１７，１９），（２９，３１），（４１，４３）・・・など，ちょっと大きなものでは（２２２７１，２２２７３），・・・などがあります．双子素数は数が大きくなるにつれてどんどん少なくなっていくのですが，双子素数が無限に多く存在するかどうかは今のところわかっていません．

　自然数ｎの約数の個数をｄ（ｎ）とします．すなわち，ｄ（ｎ）は約数関数であり，ｄ（ｎ）＝２のときｎは素数，ｄ（ｎ）＝ｄ（ｎ＋２）＝２のとき（ｎ，ｎ＋２）は双子素数です．

　　｜ζ(ｓ)｜^2＝Σｄ（ｎ）／ｎ^s

と表されることより，｜ζ(ｓ)｜^2はｄ（ｎ）のディリクレ型母関数であることがわかります．

　双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，

　　πtwin（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2

ただし，ｐを３以上の素数として

　　Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３・・・

と予想されています．

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