【１】オイラーの多面体公式

　正二十面体をイメージして下さい．正二十面体（頂点が１２個，正三角形の面が２０個ある）の各頂点からのびている５本の辺をそれぞれ１／３の長さの所で切り取り，五角錐をはずします．するとそこに１２枚の正五角形が現れ，２０枚の正三角形が２０枚の正六角形になるわけです．

　サッカーボールは正二十面体の切頂形であって，正五角形が１２枚，正六角形が２０枚の合計３２枚の面で構成されています．１２個の正五角形はすべて離れています．

　サッカーボールでは，頂点の数ｖ＝６０，辺の数ｅ＝９０ですから，面の数ｆ＝３２となってオイラーの多面体公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

が成り立っています．しかし，実際に頂点の数ｖや辺の数ｅを数えたら途中で間違うこと必定です．

　そこで，正五角形がｘ面，正六角形がｙ面あるとします．サッカーボールではどの頂点からも３本の辺が出ているので，５ｘ＋６ｙ個の頂点は同じ頂点が重複して３回数えられていることがわかります．したがって，頂点数ｖは

　　３ｖ＝５ｘ＋６ｙ

　同様に，５ｘ＋６ｙ個の辺は同じ辺が重複して２回数えられているので，

　　２ｅ＝５ｘ＋６ｙ

　オイラーの公式に代入すると

　　（５ｘ＋６ｙ）／３−（５ｘ＋６ｙ）／２＋ｘ＋ｙ＝２

より，ｘ＝１２，ｙ＝２０，ｖ＝６０，ｅ＝９０，ｆ＝３２

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【２】別解

　（５，６，６）について，正五角形面の数をｘ，正六角形面の数をｙとすると，

［１］大域条件

　　ｆ2＝ｘ＋ｙ

　　５ｘ＋６ｙ＝２ｆ1

　　３ｆ0＝２ｆ1

　　ｆ0−ｆ1＋ｆ2＝２

［２］局所条件

　　ｆ2＝（１／５＋２／６）ｆ0

　　ｆ1＝（１／２＋２／２）ｆ0

　局所条件をオイラーの多面体公式に代入すると

　　ｆ0−４５／３０ｆ0＋１６／３０ｆ0＝２→ｆ0＝６０，ｆ1＝９０，ｆ2＝３２

［注］ｘ，ｙを使わずに，局所条件とオイラーの多面体公式だけで解くことができたことに留意されたい．

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