ガリレオファンの娘（小５）に「計算すれば何でもわかるの？」と訊かれた．ドラマシーンではある事象が起こる確率を計算して，存在を証明する．

　それで思い出したのであるが，

　　［参］岩澤宏和「確率パズルの迷宮」日本評論社

に

［Ｑ］正４０角形の頂点に（辺と対角線のうち）８０本が引かれている．このとき４０個の頂点に中には互いに線で結ばれていない８個の点が存在することを示せ．

というものがある．

　正４０角形には４０・３９／２＝７８０本の辺と対角線があり，そのうち８０本だけが線を引かれている．もし，ｎ個の点を選び，その中に互いに線で結ばれている２点があれば，一方の点を取り除くことにする．ｎ個の点から２点を選ぶ組み合わせは

　　ｎ（ｎ−１）／２

通りあり，線が引かれている確率は

　　８０／７８０＝４／３９

したがって，線が引かれている組の期待数は

　　ｎ（ｎ−１）／２・４／３９

となる．

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［Ａ］４０個の点Ｐ1〜Ｐ40において，その次数をｄiとすると

　　Σｄi＝ｄ1＋・・・＋ｄ40＝１６０

　ここで，Ｐiよりも小さいＰjとの間ににのみ線が引かれている集合を考えると，この集合に毒するどの２点間にも線は引かれていないことになる．その確率は１／（ｄi＋１）となる．

　この集合の元の個数の期待値を求めると

　　Σ１／（ｄi＋１）

　ここで，コーシー・シュワルツの不等式

　　（Σａｂ）^2≦（Σａ^2）・（Σｂ^2）

　　等号が成り立つのはａ1／ｂ1＝ａ2／ｂ2＝・・・＝ａn／ｂnのときに限る

というのが，コーシー・シュワルツの不等式である．ｎ＝１のときは相加相乗平均不等式に帰着する．

　（Σａ）・（Σ１／ａ）≧ｎ^2

にｎ＝４０，ａ＝ｄ＋１を代入すると

　　Σ１／（ｄi＋１）≧４０^2／Σ（ｄi＋１）＝１６００／（１６０＋４０）＝８

　すなわち，４０個の点のうち８個をうまく選べば，どの２点間にも線が引かれていないものができることになる．

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