Σ１／ｎは発散し，Σ１／ｎ^2は収束する．すべての自然数に関する一般のオイラー級数

　Σ１／ｎ^s＝１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・

はｓ＞１のとき収束し，０＜ｓ≦１のとき発散することは微分積分学を使って簡単に証明されます（ｙ＝１／ｘ^sの積分の値と比べると、ｓ＞１ではΣ１／ｎ^s＜∫１／ｘ^sｄｘ，ｓ≦１では逆向きの不等式となる）．したがって，Σ１／ｎ^1/2＝∞．

　ここでは，Σ１／ｎ^3/2が収束することを微分積分学を使わずに照明する方法を紹介します．

　　［参］岩澤宏和「確率パズルの迷宮」日本評論社

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（証明）ｎ≧２に対して，

　　１／ｎ^3/2＝２／｛ｎ^1/2・ｎ^1/2（ｎ^1/2＋ｎ^1/2）｝

＜２／｛ｎ^1/2・（ｎ−１）^1/2（ｎ^1/2＋（ｎ−１）^1/2）｝

＝２（ｎ^1/2−（ｎ−１）^1/2）／｛ｎ^1/2・（ｎ−１）^1/2（ｎ−（ｎ−１））｝＝２／（ｎ−１）^1/2−２／ｎ^1/2

　したがって，

　　Σ１／ｎ^3/2＝１＋（２／１^1/2−２／２^1/2）＋（２／２^1/2−２／３^1/2）＋・・・＋（２／（ｎ−１）１^1/2−２／ｎ^1/2）

＝１＋２−２／ｎ^1/2＝３−２／ｎ^1/2→３

よって，Σ１／ｎ^3/2は収束する．

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