調和級数

　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

は，はじめの１０００項で７．４８５，１００万項で１４．３９３，１０億項で２１．３，１兆項で２８．２と非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散します．調和級数が発散することは次のようにして容易に示すことができます．

１／３＋１／４＞１／４＋１／４＝１／２

１／５＋１／６＋１／７＋１／８＞１／８＋１／８＋１／８＋１／８＝１／２

・・・・・

したがって，

（調和級数）＞１＋１／２＋１／２＋１／２＋１／２＋・・・→∞

　一方，オイラーのゼータ関数

　Σ１／ｎ^2＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・（＝π^2／６）

が収束することは次のようにして示すことができます．

（証明）ｎ次部分和をＰn とすると，

Ｐn ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／ｎ＾2

＜１＋１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／（ｎ−１）・ｎ＝２−１／ｎ

＜２

より，単調増加数列｛Ｐn ｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

　なお，級数Σ１／ｎ（ｎ＋１）は，優雅な公式Σ１／ｎ2 ＝π2 ／６に表面的にはよく類似していますが，

　Σ１／ｎ（ｎ＋１）

＝Σ（１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝（１−１／２）＋（１／２−１／３）＋（１／３−１／４）＋・・・

＝１

となり，両者の間には大きな格調の差があるという有名な例になっています．

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