【１】互いに素となる整数

　２つの無作為に選んだ整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π^2 （６１％）となるます．

　１つの数が素数ｐi によって割り切れる確率は１／ｐi ，両方の数が同じ素数で割り切れる確率は１／ｐi^2になります．２つの数がどちらもｐi で割り切れない確率は１−１／ｐi^2ですから，互いに素である確率はΠ（１−１／ｐi^2）．

　ここで，Π１／（１−１／ｐi^2）＝Π（１＋１／ｐi^2＋１／ｐi^4＋・・・）＝Σ１／ｎ^2 ＝ζ（２）

　したがって，２つの整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π^2 （０．６０８），同様にして３つの整数が互いに素である確率は１／ζ（３）＝０．８３２，４つの整数が互いに素である確率は１／ζ（４）＝９０／π^4 （０．９２３９）を得ることができます．

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【２】ベンフォードの確率

　自然界に現れる数値の分布は一様ではなく，１で始まることが多い．その確率はｌｏｇ10２＝０．３０１０である．９は最も少ない確率で登場し，その確率はｌｏｇ10（１０／９）＝０．０４５８であるから，最初の桁で１が登場する確率は９の７倍になる．

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