『もし，ここに３０人の構成員からなる集団があって，この中に誕生日の一致するペアが一組以上いるかどうか？　このギャンブルをやるとしたら，あなたはどちらに賭けるだろう．誕生日なんてめったに一致するものじゃないよなあ．まして構成員はたった３０人である．一も二もなくペアは一組もいないほうに賭けるのではあるまいか？

　だが，お立ち会い．これがそうでもない．特定の人を選び，その人と誰かの誕生日が一致する確率は確かに小さい．そう，１／３６５である．３０人の集団の中で一致する確率はすこぶる小さいけど，このことと「３０人の中の誰かと誰かが一致する」こととはまるで違う．

　確率計算はややこしくて，文筆家に向かないから省略するけど，疑う人は数学に堪能な人に尋ねて下さい．構成員が２３人と越えるあたりで一致する確率が５０％を越える．つまり，サッカーの試合（選手２２人と主審１人）ならば２人が同じ誕生日となる確率は５０％である．（これはコイントスして表が出る確率と同じである．

　３０人もいようものなら７０％位の確率になる．まして，４０人，５０人ならばさらに高い．構成員３〜４０人の職場を想定したとき，誕生日の一致する確率はまずいるものと考えたほうが妥当である．』

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　このクイズは数多くの本で取り扱われた有名なものであるが，確かに，少なくとも２人同じ誕生日の人がいる確率の大きさには驚かされる．

　式を誘導するため，次のような定式化をおこなってみよう．

１番目の人と２番目の人が異なる誕生日である確率は１−１／ｄである．

また，３番目の人が１番と２番の人と誕生日が異なる確率は，２番目の人は１番目の人と異なる日に生まれたとして，１−２／ｄである．

したがって，ｎ人全員が異なる誕生日である確率ｐnは，

　　ｐn＝（１−１／ｄ）×（１−２／ｄ）×・・・×（１−（ｎ−１）／ｄ）

となる．求めたい確率ｐは少なくとも２人同じ誕生日の人がいる確率であるから，

　　ｐ＝１−ｐn

　ｄ＝３６５について，ｎ＝２３では求める確率は０．５０７３，ｎ＝３０では０．７１，ｎ＝４０では０．８９にもなる．したがって，ｎ＝３０〜４０だったら少なくとも２人は同じ誕生日であるほうに賭けるほうが賢明であることがわかる．

　また，ｎがｄに比べて小さければ，テイラー展開より

　　１−ｋ／ｄ〜ｅｘｐ（−ｋ／ｄ）

　　Π（１−ｋ／ｄ）〜ｅｘｐ（−Σｋ／ｄ）

Σｋ＝ｎ（ｎ−１）／２であるから，

　　ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２ｄ）

となる．

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【Ｑ１】自分の誕生日のパーティーに大勢の人を招待することにする．自分の誕生日がそのうちのひとりと同じのなる確率が５０％を超えるには何人招けばよいか？

（Ａ１）ひとりの誕生日が自分の誕生日と同じにならない確率は３６４／３６５．ｎ人の客がいて，すべて自分の誕生日と同じにならない確率は（３６４／３６５）^n．

　自分の誕生日と同じ人がひとりはいる確率は

　　１−（３６４／３６５）^n＞０．５

より，ｎ＞２５３．この数は直観的な値３６５／２＝１８０よりかなり大きい．

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【２】オイラーの素数公式

　ｘ^2＋ｘ＋４１のｘに０，１，２，・・・，３９を入れてできる数はすべて素数である．

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