今回のコラムでは高次元単位球面上の測度集中について取り上げたいと思います．

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【１】赤道周りへの測度集中

　Ｓn-1球面の赤道の周りに幅２ωの帯を設けて，ここに測度の８０％が含まれるようなωを求めてみることにします．すなわち

　　Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：−ω≦ｘn≦ω｝

　＝Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：ｘn^2≦ω^2｝＝０．８

　具体的にいうとＳ0＝｛±１｝，Ｓ1は２π（円周）ですから，

　　ω＝ｓｉｎ(0.8/4･2π)＝０．９５１０５６

ｎ＝３の場合，Ｓ2は４π（表面積）ですが，y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

で与えられますから，y=(1-x^2)^(1/2)とおくと

　　S[y]=2π∫(0,x)dx=2πx=0.8/2･4π

よりω＝０．８と求められます．

　ｎ＞３は簡単には求められませんが，（その２）で述べたことにより，x=(x1,x2,･･･,xn)を単位球面Ｓn-1上で一様分布する点とすると，xn^2の分布はベータ分布Beta(1/2,(n-1)/2)となることがわかります．

　ベータ分布は不完全ベータ関数と密接に関係していて，その分布関数はガウスの超幾何関数2Ｆ1を使って以下のように表現されます．

　　Ｆ（ｘ）＝１／ｐｘ^p2Ｆ1(p,1-q,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）

　　　　　　＝１／ｐｘ^p（１−ｘ）^q2Ｆ1(p+q,1,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）

　この式からわかるようにベータ分布は区間（０，１）で定義された分布で，（０，１）に制限されているため，ニュートン法などの反復解法を用いてパーセント点を求めるには不向きです．そこで，区間（０，∞）で定義されたＦ分布の上側確率との間には

　　Ｑ（df1,df2,F)＝Ｉx（df2/2,df1/2,x)，ｘ＝df2/(df2+df1*F)

　　Ｉx(p,q)＝∫(0,x)t^(p-1)(1-t)^(1-q)dt/B(p,q)

の関係のあることを使って，Ｆ分布に関する計算をしてからベータ分布関数に変換する方法でベータ分布のパーセント点を求めることにします．また，その方が初期値を求めるうえでもを便利です．

　ｎ　　　　　　ω

2 .951057

3 .8

4 .687049

5 .6084

6 .550863

7 .506727

8 .471589

9 .442796

10 .418662

20 .291384

30 .236612

40 .204344

50 .182466

60 .166381

70 .153916

80 .143889

90 .135596

100 .12859

　この計算が示していることは，（直観に反して）大きいｎに対してはＳn-1のほとんどが赤道のかなり近くに位置しているというものです．ｎが大きいときωのオーダーはｎ^(-1/2)になります．

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