■置換多面体の空間充填性(その186)

 (その167)−(その172)について,再考したい.

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[1]空間充填2^n+2n胞体の二胞角

  cosδ1=−1/√n

  cosδ2=−(n−2)/n→正軸体に相当

で,常に

  2δ1+δ2=360°

が成り立つ.

  mδ1+nδ2=0  (modπ)

を考えると,

  2δ1=π−δ2

であるから,

  nδ2=0  (modπ)

に等しい.

 すなわち,

  cosδ2=−(n−2)/n→正軸体に相当

だけが残ることになる.

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[2]空間充填2(2^n−1)胞体の二胞角

  k>jとして

  cosδ=−{(j+1)/(k+1)・(n−k)/(n−j)}^1/2

でも(j=0,k=1)=(j=n−2,k=n−1)のとき

  cosδ3=−{1/2・(n−1)/n}^1/2

(j=0,k=n−1)のとき,

  cosδ4=−{1/n・1/n}^1/2=−1/n→正単体に相当

となって,常に

  2δ3+δ4=360°

が成り立つ.

  cosδ4=−{1/n・1/n}^1/2=−1/n→正単体に相当

だけが残ればよいのであるが,どうだろうか?

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 たとえば,n=4の場合

  cosδ01=−√(3/8),δ1=127.761

  cosδ02=−√(1/6),δ2=114.761

  cosδ03=−1/4,δ3=104.477

  cosδ12=−2/3,δ4=131.81

  cosδ13=−√(1/6),δ2=114.761

  cosδ23=−√(3/8),δ1=127.761

  2δ1+δ3=360°

  2δ2+δ4=360°

  m1δ1+m2δ2+m3δ3+m4δ4=0  (modπ)

  m3δ3+m4δ4=0  (modπ)

 n=5の場合は

  cosδ01=−√(2/5),δ1=129.231

  cosδ02=−√(1/5),δ2=116.565

  cosδ03=−√(1/10),δ3=108.435

  cosδ04=−1/5,δ4=101.537

  cosδ12=−√(1/2),δ5=135

  cosδ13=−1/2,δ6=120

  cosδ14=−√(1/10),δ3=108.435

  cosδ23=−√(1/2),δ5=135

  cosδ24=−√(1/5),δ2=116.565

  cosδ34=−√(2/5),δ1=129.231

  2δ1+δ4=360°

  3δ6=360°

  δ2+δ3+δ5=360°

  m1δ1+m2δ2+m3δ3+m4δ4+m5δ5+m6δ6=0  (modπ)

  m3δ3+m4δ4+m5δ5=0  (modπ)

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