■置換多面体の空間充填性(その186)
(その167)−(その172)について,再考したい.
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[1]空間充填2^n+2n胞体の二胞角
cosδ1=−1/√n
cosδ2=−(n−2)/n→正軸体に相当
で,常に
2δ1+δ2=360°
が成り立つ.
mδ1+nδ2=0 (modπ)
を考えると,
2δ1=π−δ2
であるから,
nδ2=0 (modπ)
に等しい.
すなわち,
cosδ2=−(n−2)/n→正軸体に相当
だけが残ることになる.
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[2]空間充填2(2^n−1)胞体の二胞角
k>jとして
cosδ=−{(j+1)/(k+1)・(n−k)/(n−j)}^1/2
でも(j=0,k=1)=(j=n−2,k=n−1)のとき
cosδ3=−{1/2・(n−1)/n}^1/2
(j=0,k=n−1)のとき,
cosδ4=−{1/n・1/n}^1/2=−1/n→正単体に相当
となって,常に
2δ3+δ4=360°
が成り立つ.
cosδ4=−{1/n・1/n}^1/2=−1/n→正単体に相当
だけが残ればよいのであるが,どうだろうか?
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たとえば,n=4の場合
cosδ01=−√(3/8),δ1=127.761
cosδ02=−√(1/6),δ2=114.761
cosδ03=−1/4,δ3=104.477
cosδ12=−2/3,δ4=131.81
cosδ13=−√(1/6),δ2=114.761
cosδ23=−√(3/8),δ1=127.761
2δ1+δ3=360°
2δ2+δ4=360°
m1δ1+m2δ2+m3δ3+m4δ4=0 (modπ)
は
m3δ3+m4δ4=0 (modπ)
n=5の場合は
cosδ01=−√(2/5),δ1=129.231
cosδ02=−√(1/5),δ2=116.565
cosδ03=−√(1/10),δ3=108.435
cosδ04=−1/5,δ4=101.537
cosδ12=−√(1/2),δ5=135
cosδ13=−1/2,δ6=120
cosδ14=−√(1/10),δ3=108.435
cosδ23=−√(1/2),δ5=135
cosδ24=−√(1/5),δ2=116.565
cosδ34=−√(2/5),δ1=129.231
2δ1+δ4=360°
3δ6=360°
δ2+δ3+δ5=360°
m1δ1+m2δ2+m3δ3+m4δ4+m5δ5+m6δ6=0 (modπ)
は
m3δ3+m4δ4+m5δ5=0 (modπ)
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