頂点次数について再考してみたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ａ）ｎ次元立方体（正２ｎ胞体）は，

　　頂点数：　２^n，

　　稜数：　　２^(n-1)ｎ，

　　四角形数：２^(n-2)ｎ（ｎ−１）／２

からなっていて，各頂点のまわりにはｎ本の稜，ｎ（ｎ−１）／２個の正方形が集まっている．また，各稜のまわりにはｎ−１個の正方形が集まっている．

　頂点数をｆ0，稜数をｆ1，面数をｆ2で表すことにすると，稜の両端にはそれぞれ頂点があり，四角形は四辺形であるから，頂点まわりの稜数は

　　２ｆ1／ｆ0＝ｎ

頂点まわりの四角形数は

　　４ｆ2／ｆ0＝ｎ（ｎ−１）／２

稜まわりの四角形数は

　　４ｆ2／ｆ1＝ｎ−１

と計算されるというのがその根拠である．

ｂ）ｎ次元双対立方体（正２^n胞体）では

　　頂点数：　２ｎ，

　　稜数：　　２^2ｎ（ｎ−１）／２，

　　三角形数：２^3ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６

であるから，同様に，

　　２ｆ1／ｆ0＝２（ｎ−１）

　　３ｆ2／ｆ0＝２（ｎ−１）（ｎ−２）

　　３ｆ2／ｆ1＝ｎ−２

より，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜がでる．各頂点のまわりには２（ｎ−１）個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−２個の三角形が集まっている．

ｃ）ｎ次元正単体（正ｎ＋１胞体）の場合，

　　頂点数：　ｎ＋１，

　　稜数：　　（ｎ＋１）ｎ／２，

　　三角形数：（ｎ＋１）ｎ（ｎ−１）／６

である．これも同様に，

　　２ｆ1／ｆ0＝ｎ

　　３ｆ2／ｆ0＝ｎ（ｎ−１）／２

　　３ｆ2／ｆ1＝ｎ−１

と計算される．すなわち，各頂点からはｎ本の稜がでる．各頂点のまわりにはｎ（ｎ−１）／２個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝