（その４）では，トロコイドｆ（ｘ，ｙ）＝０が代数曲線Ｆ（ｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ）＝０になることを示しました．ｒ＝（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2はｘ，ｙの多項式ではありませんが，ｒ^2とすれば多項式になります．ｒ^nｃｏｓｎφも同様です．
そこで，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ＝（ｘ，ｙのｎ次の同次多項式）で，具体的に書くと
Ｄ1：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ）
Ｄ2：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2）
Ｄ3：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2））
Ｄ4：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2ｙ^2）
と表され，代数曲線であることがおわかりいただけるでしょう．
したがって，トロコイド曲線の次数はｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφが何次の形で入っているかによって決定され，Ｄnの対称性をもつトロコイドの場合は最低でもｎ次になることがわかります．実際，ｘ^2＋ｙ^2はｃｏｓθのｎ次式，ｘ，ｘ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2），ｘ^2ｙ^2などはｃｏｓθの２ｎ次式となり，トロコイドは最低でも２ｎ次式になるのです．
しかし，出現する項がわかっていたとしても代数曲線の方程式を書き下すことはそれほど簡単なことではありません．対称性だけでなく，曲線固有の性質が次数と関係してくるのですが，次数が高くなるとｃｏｓθを消去する一般的な方法が明らかなものではなくなってしまうからです．
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【１】ハイポサイクロイドの次数
ｎ尖点ハイポサイクロイド
ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ
ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ
において，
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝２（ｎ−１）ｃｏｓｎθ＋（ｎ−１）^2＋１
とします．Ｄ0はｃｏｓθのｎ次式で表されることになります．
［１］ｎ＝２
ｘ＝２ｃｏｓθ，ｙ＝０
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝２ｃｏｓ２θ＋２＝４ｃｏｓ^2θ
Ｄ2：ｘ^2＝４ｃｏｓ^2θ
よりｃｏｓθを消去すると，ｙ＝０
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［２］ｎ＝３
ｘ＝２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１
ｙ＝２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ＝２ｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝４ｃｏｓ３θ＋５＝１６ｃｏｓ^3θ−１２ｃｏｓθ＋５
Ｄ3：ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝（２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１）｛（２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１）^2−１２（１−ｃｏｓ^2θ）（１−ｃｏｓθ）^2｝
あるいは
ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝ｘ（−３（ｘ^2＋ｙ^2）＋４ｘ^2）
として，Ｄ3を求めます．
Ｄ0はｃｏｓθの３次式，Ｄ3は６次式となりますから，代数曲線を６次
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ａ）^2＋ｂｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＋ｃ＝０
と仮定して，未定係数法で係数ａ，ｂ，ｃを求めてみることにします．すると
ｃｏｓθ＝１ → （９＋ａ）^2＋２７ｂ＋ｃ＝０
ｃｏｓθ＝０ → （５＋ａ）^2＋１１ｂ＋ｃ＝０
ｃｏｓθ＝−１ → （１＋ａ）^2−ｂ＋ｃ＝０
より，ａ＝９，ｂ＝−８，ｃ＝−１０８となって
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋９）^2＋８ｘ（３ｙ^2−ｘ^2）−１０８＝０
が得られます．
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［３］ｎ＝４
ｘ＝３ｃｏｓθ＋ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ
ｙ＝３ｓｉｎθ−ｓｉｎ３θ＝４ｓｉｎ^3θ
これより直ちにｘ^2/3＋ｙ2/3＝４^2/3は求められるのですが，ここではＤ0，Ｄ4を用いることにします．
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝６ｃｏｓ４θ＋１０＝４８ｃｏｓ^4θ−４８ｃｏｓ^2θ＋１６＝−４８ｃｏｓ^2θｓｉｎ^2θ＋１６
Ｄ4：ｘ^2ｙ^2＝１６^2ｃｏｓ^6θｓｉｎ^6θ
ｃｏｓθを消去すると
（ｘ^2＋ｙ^2−１６）^3＋４３２ｘ^2ｙ^2＝０
デルトイド同様，代数曲線を
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ａ）^3＋ｂｘ^2ｙ^2＋ｃ＝０
と仮定すると，
ｃｏｓθ＝１ → （１６＋ａ）^3＋ｃ＝０
ｃｏｓθ＝１／√２ → （４＋ａ）^3＋４ｂ＋ｃ＝０
ｃｏｓθ＝１／２ → （７＋ａ）^3＋２７／１６ｂ＋ｃ＝０
より，ａ＝−１６，ｂ＝４３２，ｃ＝０はこの条件を満足させることがわかります．しかし，デルトイドの場合とは異なり，仮定式のように表せる保証はまったくありません．
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3＋ａ（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋ｂ（ｘ^2＋ｙ^2）＋ｃｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＋ｄ＝０
と仮定すべきところでしょう．
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【２】エピサイクロイドの次数
一方，ｎ尖点エピサイクロイド
ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ＋１）θ
ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ＋１）θ
の場合は，
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−２（ｎ＋１）ｃｏｓｎθ＋（ｎ＋１）^2＋１
［１］ｎ＝１
ｘ＝２ｃｏｓθ−ｃｏｓ２θ
ｙ＝２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ＝２ｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−４ｃｏｓθ＋５
Ｄ1：ｘ＝２ｃｏｓθ−ｃｏｓ２θ＝−２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ＋１
よりｃｏｓθを消去すると，
（ｘ^2＋ｙ^2−３）^2＋８ｘ−１２＝０
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［２］ｎ＝２
ｘ＝３ｃｏｓθ−ｃｏｓ３θ＝−４ｃｏｓ^3θ＋６ｃｏｓθ
ｙ＝３ｓｉｎθ−ｓｉｎ３θ＝４ｓｉｎ^3θ
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−６ｃｏｓ２θ＋１０＝−１２ｃｏｓ^2θ＋１６
Ｄ2：ｘ^2＝４ｃｏｓ^2θ（３−２ｃｏｓ^2θ）^2
よりｃｏｓθを消去すると，
（ｘ^2＋ｙ^2−４）^3−１０８ｙ^2＝０
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［３］ｎ＝３
ｘ＝４ｃｏｓθ−ｃｏｓ４θ＝−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ＋４ｃｏｓθ−１
ｙ＝４ｓｉｎθ−ｓｉｎ４θ＝−４ｓｉｎθ（２ｃｏｓ^3θ−ｃｏｓθ−１）
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−８ｃｏｓ３θ＋１７＝−３２ｃｏｓ^3θ＋２４ｃｏｓθ＋１７
Ｄ3：ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝（−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ＋４ｃｏｓθ−１）｛（−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ＋４ｃｏｓθ−１）^2−４８（１−ｃｏｓ^2θ）（２ｃｏｓ^3θ−ｃｏｓθ−１）^2｝
あるいは
ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝ｘ（−３（ｘ^2＋ｙ^2）＋４ｘ^2）
デルトイド，アステロイドのように
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ａ）^4＋ｂｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＋ｃ＝０
とうまい具合に表せるとは限らないので，
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^4＋ａ（ｘ^2＋ｙ^2）^3＋ｂ（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋ｃ（ｘ^2＋ｙ^2）＋ｄｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＋ｅ＝０
と仮定します．
ｃｏｓθ＝１ → ｘ^2＋ｙ^2＝９，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝２７
ｃｏｓθ＝−１ → ｘ^2＋ｙ^2＝２５，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝−１２５
ｃｏｓθ＝０ → ｘ^2＋ｙ^2＝１７，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝４７
ｃｏｓθ＝１／２ → ｘ^2＋ｙ^2＝２５，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝−１２５
ｃｏｓθ＝−１／２ → ｘ^2＋ｙ^2＝９，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝２７
これで整数点，有理点が３つ得られました．どうしても整数点，有理点にこだわりたいならばｃｏｓθ＝１／３，１／４，・・・とおくか，
ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）
ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）
と表せばよいのですが，非有理点でもかまわなければ，
ｃｏｓθ＝１／√２ → ｘ^2＋ｙ^2＝１７＋４√２，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝１−２６√２
ｃｏｓθ＝−１／√２ → ｘ^2＋ｙ^2＝１７−４√２，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝１＋２６√２
を用いることもできます．
（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2））＝（９，２７），（２５，−１２５），（１７，４７），（１７＋４√２，１−２６√２），（１７−４√２，１＋２６√２）を利用した未定係数法により
ａ＝−２０，ｂ＝−１０，ｃ＝−１８０，ｄ＝５１２，ｅ＝−３３７５
が求められました．未定係数法の計算は畏友・阪本ひろむ氏にお願いしました．すなわち，ｎ＝３は８次曲線：
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^4−２０（ｘ^2＋ｙ^2）^3−１０（ｘ^2＋ｙ^2）^2−１８０（ｘ^2＋ｙ^2）＋５１２（ｘ^3−３ｘｙ^2）−３３７５＝０
となります．
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［４］ｎ＝４
ｘ＝５ｃｏｓθ−ｃｏｓ５θ＝−１６ｃｏｓ^5θ＋２０ｃｏｓ^3θ
ｙ＝５ｓｉｎθ−ｓｉｎ５θ＝−１６ｓｉｎ^5＋２０ｓｉｎ^3θ
Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−１０ｃｏｓ４θ＋２６＝−８０ｃｏｓ^4θ＋８０ｃｏｓ^2θ＋１６＝８０ｃｏｓ^2θｓｉｎ^2θ＋１６
Ｄ4：ｘ^2ｙ^2＝１６ｃｏｓ^6θ（４ｃｏｓ^2θ−５）^2・１６ｓｉｎ^6θ（４ｓｉｎ^2θ−５）^2＝１６^2ｃｏｓ^6θｓｉｎ^6θ（１６ｃｏｓ^2θｓｉｎ^2θ＋５）^2
ｃｏｓθを消去すると，１０次式
（ｘ^2＋ｙ^2−１６）^3（ｘ^2＋ｙ^2＋９）^2−５００００ｘ^2ｙ^2＝０
が得られます．
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【３】まとめ
ｃｏｓθに関するｎ次方程式を解く方法は，ｎが大きくなると難しくなります．そのため，ハイポサイクロイド（エピサイクロイド）の一般的な代数曲線表示には別の方法を用いる必要がでてくるのですが，今回のコラムでは未定係数法を用いてみました．
その結果，
エピサイクロイド ハイポサイクロド
ｎ＝１ ４次曲線
ｎ＝２ ６次曲線 １次
ｎ＝３ ８次曲線 ４次曲線
ｎ＝４ 10次曲線 ６次曲線
となることを示すことができました．
ハイポサイクロイドのｎ＝２の場合は１次直線ですが，半径が無限大となって全体が一面に拡がってしまった円弧（２次曲線）と解釈することができますから，これ以降も
ｎ ２（ｎ＋１）次 ２（ｎ−１）次
となることが予測されます．すなわち，ハイポサイクロイドではｍ＝ｎ−１，エピサイクロイドではｍ＝ｎ＋１とおくと，２ｍ次曲線になるというものです．
未定係数法を用いれば，原理的には何次であろうとも係数を決定することができます．トロコイドでは出現する項がわかっているので，結局，未定係数法を用いて方程式を決定するのが最も近道かもしれません．
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