■置換多面体の空間充填性(その172)

 n≧5のとき,8次元の場合だけ

  δ1(正単体)+2δ3(正軸体)=2π

なる関係が成立するが,このときも直角と有理比ではあっても,2πの整数分の1ではなく,超立方体に解体再編されない.

[1]空間充填2^n+2n胞体の二胞角

  cosδ1=-1/√n

  cosδ2=-(n-2)/n→正軸体に相当

で,常に

  2δ1+δ2=360°

が成り立つ.

[2]空間充填2(2^n-1)胞体の二胞角

  k>jとして

  cosδ=-{(j+1)/(k+1)・(n-k)/(n-j)}^1/2

でも(j=0,k=1)=(j=n-2,k=n-1)のとき

  cosδ3=-{1/2・(n-1)/n}^1/2

(j=0,k=n-1)のとき,

  cosδ4=-{1/n・1/n}^1/2=-1/n→正単体に相当

となって,常に

  2δ3+δ4=360°

が成り立つこが,同じ理由からに解体再編されないのだと思う.

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