■置換多面体の空間充填性(その172)
n≧5のとき,8次元の場合だけ
δ1(正単体)+2δ3(正軸体)=2π
なる関係が成立するが,このときも直角と有理比ではあっても,2πの整数分の1ではなく,超立方体に解体再編されない.
[1]空間充填2^n+2n胞体の二胞角
cosδ1=−1/√n
cosδ2=−(n−2)/n→正軸体に相当
で,常に
2δ1+δ2=360°
が成り立つ.
[2]空間充填2(2^n−1)胞体の二胞角
k>jとして
cosδ=−{(j+1)/(k+1)・(n−k)/(n−j)}^1/2
でも(j=0,k=1)=(j=n−2,k=n−1)のとき
cosδ3=−{1/2・(n−1)/n}^1/2
(j=0,k=n−1)のとき,
cosδ4=−{1/n・1/n}^1/2=−1/n→正単体に相当
となって,常に
2δ3+δ4=360°
が成り立つこが,同じ理由からに解体再編されないのだと思う.
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